4.18. Приближенное решение уравнений методом половинного деления

Пусть требуется решить некоторое уравнение . Решить его – это значит найти все его корни. То есть найти те значения неизвестной X, которые удовлетворят уравнению. Корни уравнения имеют и наглядный геометрический смысл: это точки пересечения графика функции С осью Ох.

Пусть – непрерывная на заданном отрезке функция, то есть ее график – сплошная (непрерывная) линия для всех X этого отрезка. Тогда очевидно следующее: если на концах этого отрезка (в точках A и B) функция принимает значения разных знаков, то график этой функции непременно пересечет отрезок оси Ох хотя бы один раз. А значит, уравнение заведомо будет иметь на этом отрезке хотя бы один корень (один корень X1 на рис. 4.19 (А) и три корня (X1, X2, X3) на рис. 4.19 (Б)).

В частности, если на отрезке функция дифференцируема (это значит, что на отрезке в каждой его точке X существует производная ), и эта производная на всем отрезке сохраняет свой знак, то при знаке (+) этой производной функция на отрезке монотонно растет, а при знаке (–) монотонно убывает. В любом из этих вариантов график функции , имеющей на концах отрезка значения разных знаков, пересечет этот отрезок только один раз (как, например, на рис. 4.19 (А)). А значит, уравнение будет иметь на отрезке только один корень X1.

Простейшим и вместе с тем эффективным методом численного нахождения этого корня X1 является Метод половинного деления. Суть его в следующем:

1) Находим середину С1 отрезка и вычисляем . Искомый корень X1 окажется, очевидно, в той из половин или отрезка , на концах которой функция имеет разные знаки. Выбираем эту половину.

2) Находим середину С2 той половины отрезка , на которой находится искомый корень X1, и вычисляем . Выбираем ту половину найденной в пункте 1 половины, на концах которой функция имеет разные знаки. Именно на ней находится искомый корень X1 уравнения .

3) Потом полученный отрезок (четвертинку исходного отрезка ) опять делим пополам, и т. д.

В итоге, последовательно сужая промежуток оси Ох, на котором содержится искомый корень X1 уравнения , через несколько шагов получим достаточно узкий промежуток (например, через 10 шагов исходный промежуток уменьшится в раз, через 20 шагов – в миллион раз, и т. д.). Любая точка этого промежутка (например, его середина) может быть принята за приближенное значение искомого корня X1. И корень этот, очевидно, может быть найден с любой заданной точностью, что и делается с помощью соответствующей программы на ЭВМ.

Примечание. Если известно, что уравнение имеет несколько корней (X1, X2, …) – см. например, рис. 4.19 (Б), то отделяя каждый из них своим промежутком и используя для каждого такого промежутка изложенную выше схему половинного деления, можно найти все эти корни. А чтобы узнать, сколько корней имеется у данного уравнения , следует представлять себе, хотя бы в общих чертах, график функции . То есть нужно исследовать эту функцию. И в этом исследовании главное – это определение интервалов непрерывности и точек разрыва функции, исследование ее на четность-нечетность и периодичность, определение интервалов возрастания-убывания и точек экстремума.

Пример 1. Определить количество корней уравнения И отделить некоторым промежутком каждый из них.

Решение. Рассмотрим функцию . Эта функция определена (а следовательно, и непрерывна) для всех X, . Функция эта общего вида (ни четная и ни нечетная) и не периодическая.

Далее, исследуя ее на возрастание-убывание и точки экстремума (проделайте это по изложенной выше схеме самостоятельно), устанавливаем, что интервалы и являются интервалами возрастания функции, а интервал – интервал ее убывания; – точка максимума функции, а точка – вершина ее графика; – точка минимума функции, а точка – впадина ее графика. При функция , а при функция . По этим результатам можно уже схематично построить график функции (рис. 4.20). Из этого графика видим, что он пересекает ось Ох три раза – в точках (X1, X2, X3). То есть уравнение имеет три корня (X1, X2, X3). Корень X1 находится на промежутке ; корень X2 – на промежутке , корень X3 – на промежутке . Каждый из них с любой заданной точностью может быть найден изложенным выше методом половинного деления.