1.12. Формула полной вероятности и формула Байеса

Определение. События образуют Полную группу событий, если:

а) они попарно несовместны;

б) одно из них при производстве испытания обязательно произойдет.

Пример 1. События , представляющие собой выпадение единицы, двойки, ... шестерки при бросании игральной кости, составляют, очевидно, полную группу событий.

Пример 2. Любое случайное событие А и ему противоположное событие составляют очевидно, полную группу событий.

Если события составляют полную группу событий, то событие , состоящие в появлении хотя бы одного из событий , представляет собой достоверное событие. Значит,

(5.1)

С другой стороны, в силу попарной несовместности событий по формуле (4.10) получаем:

(5.2)

Сравнивая (5.1) и (5.2), получаем для полной группы событий :

(5.3)

В частности,

, откуда (5.4)

- формула, приводившаяся ранее (см. (3.6)).

Если - полная группа событий, то любое интересующее нас событие А может произойти лишь совместно с одним из событий этой группы. А значит,

(5.5)

Пусть нам известны вероятности

(5.6)

Всех событий, составляющих полную группу, а также известны условные вероятности

(5.7)

Появления события А совместно с каждым из событий этой группы. Тогда из выражения (5.5) получаем:

=│учтем, что все слагаемые – это попарно несовместные события│=

=

=│учтем, что множители во всех произведениях– зависимые события│=

=

(5.8)

Полученная формула

(5.9)

Называется Формулой полной вероятности. В отличие от условных вероятностей (5.7), обеспечиваемых событию А отдельными событиями полной группы, формула полной вероятности определяет Итоговую (полную) вероятность события А, которую обеспечивает ему вся полная группа событий В целом.

Примечание. Во многих практических задачах роль событий полной группы играют некоторые предположения (гипотезы). Поэтому события обычно называют Гипотезами.

Пример 3. Имеются две урны (ящика) с шарами. В первой урне содержатся 2 белых и 1 черный шар, а во второй 1 белый и 2 черных шара. Из первой урны во вторую наудачу перенесли один шар, а затем из второй урны наудачу извлекли один шар. Какова вероятность того, что в итоге из второй урны извлечен белый шар?

Решение. Неизвестно, какой шар (белый или черный) перенесли из первой урны во вторую. Есть две гипотезы:

Гипотеза В1 – из первой урны во вторую перенесен белый шар;

Гипотеза В2 – из первой урны во вторую перенесен черный шар.

Гипотезы (В1; В2) образуют, очевидно, полную группу случайных событий. При этом

Далее, пусть А – событие, состоящее в том, что из второй урны после перенесения в нее одного шара из первой урны извлечен белый шар. Очевидно, что

А искомую вероятность события А (полную вероятность) найдем по формуле полной вероятности:

А теперь предположим, что испытание, в котором событие А могло произойти или не произойти, уже произведено, и событие А в этом испытании появилось. Встает естественный вопрос: какими теперь, в свете этого факта, будут вероятности справедливости гипотез ? То есть каковы вероятности

? (5.10)

Эти вероятности находятся по Формуле Байеса:

(K=1,2…N) (5.11)

Здесь - полная вероятность события А, подсчитываемая по формуле (5.9).

Вывод формулы Байеса очень прост: используя формулу (4.8) для зависимых событий, получим:

(K=1,2…N)

Из последнего равенства и вытекает формула Байеса.

Пример 4. Пусть указанный в примере 3 эксперимент совершен, и в итоге из второй урны вынут белый шар (событие А Произошло). Вопрос: каковы вероятности Того, что при этом из первой урны во вторую был перенесен белый шар и черный шар соответственно?

Решение. Искомые вероятности получим по формуле Байеса:

;

Сравнивая вероятности справедливости гипотез В1 и В2, найденные до опыта ( ) с вероятностями справедливости этих же гипотез после опыта ( ) видим, что вероятность справедливости первой гипотезы выросла, а вероятность справедливости второй гипотезы уменьшилась. И это естественно: результат испытания (извлечение из второй урны белого шара) в большей мере подтвердил справедливость гипотезы В1 (во вторую урну перенесен белый шар), чем гипотезы В2 (во вторую урну перенесен черный шар).

Заметим, что сумма вероятностей гипотез В1 и В2 Как до опыта, так и после опыта равна 1. И это естественно, ибо и после опыта полная группа гипотез продолжает оставаться полной.

Упражнения:

1. Из коробки домино (в ней всего 28 костей) наудачу последовательно вынимаются две кости. Какова вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой?

Ответ: .

2. Из коробки домино наудачу последовательно извлечено две кости, причем вторая кость подошла (приставилась) к первой. Какова вероятность того, что первая кость: а) была дублем? б) не была дублем?

Ответ: а); б).

3. Из колоды в 36 карт наудачу последовательно вынимаются две карты. Какова вероятность того, что вторая из них окажется тузом?

Ответ: .

4. Студент знает не все экзаменационные билеты. Какова вероятность вытащить на экзамене билет, который он знает, у студента больше: когда он идет брать билет первым? вторым? …последним?

Ответ: Все вероятности одинаковы.

5. Имеются три одинаковых запечатанных ящика с деталями. В первом ящике все детали стандартные; во втором половина стандартных и половина нестандартных; в третьем – все детали нестандартные. Наудачу вскрыт один ящик, и вынутая из него деталь оказалась стандартной. Каковы вероятности того, что был вскрыт: а) первый ящик; б) второй; в) третий.

Ответ: а); б); в) 0.

< Предыдущая		Следующая >