1.01. Случайное событие и вероятность его появления

Определение. Событие А называется случайным, если заранее, до производства испытания (эксперимента, наблюдения) неизвестно, произойдет оно или нет.

Примеры:

1) Испытание - покупка лотерейного билета; случайное событие А – выигрыш по этому билету.

2) Испытание - выстрел стрелка по мишени; случайное событие А – Попадание стрелка в мишень.

3) Испытание - подбрасывание монеты; случайное событие А - выпадение орла.

4) Испытание - приход студента на экзамен; случайное событие А – сдача им экзамена.

5) Испытание - посадка в землю семени; случайное событие А – Прорастание семени.

Интересующее нас случайное событие А может иметь как большую возможность (много шансов) для своего появления, так и не очень. Если известно, что в повторяемых испытаниях событие А Наступает часто – у него, естественно, будет большая возможность появления в каждом отдельном испытании. А если редко - то небольшая.

Возникает естественная задача Численной оценки (оценки числом) степени возможности появления в отдельном испытании любого интересующего нас случайного события А. Для решения этой задачи в теории вероятностей разработано понятие Вероятности появления случайного события А в единичном испытании. Связывается это понятие Со средней долей появления события А в сериях повторных испытаний.

Пусть N – Число повторных испытаний (число купленных лотерейных билетов, число выстрелов по мишени, и т. д.), а – Среднее число появлений события А в этих N повторных испытаний (среднее число выигрышных билетов из N купленных билетов, среднее число попаданий в мишень при N Выстрелах по мишени, и. т.д.). Тогда, по определению, в качестве Вероятности P(А) появления события А в одном испытании принимается величина

(1.1)

То есть – это Средняя доля Появлений события А в повторных испытаниях.

Кстати, если известен средний процент появления события А В повторных испытаниях, то среднюю долю появления события А, а следовательно, и его вероятность Появления в каждом отдельном испытании можно получить и по такой, вытекающей из (1.1), формуле:

(1.2)

Пусть, например, случайное событие А - это попадание стрелка в мишень. И пусть из опытов известно, что из каждых 10 выстрелов (испытаний) стрелок попадает в цель в среднем 7 раз. Тогда средняя доля попадания стрелка в мишень при повторении выстрелов равна . Это и есть, согласно (1.1), вероятность попадания стрелка в мишень с одного выстрела: =0,7.

Можно рассудить и по-другому: если стрелок попадает в мишень в среднем 7 раз из 10, то это значит, что он в среднем попадает 70 раз из 100, то есть в среднем в 70% выстрелов. А значит, , откуда по формуле (1.2) получаем: = 0,7. То есть получаем тот же самый результат.

Обратно, зная, что вероятность попадания стрелка в мишень с одного выстрела (в одном испытании) равна 0,7, на основании формул (1.1) и (1.2) делаем вывод, что средняя доля попаданий такого стрелка в мишень при повторных выстрелах равна 0,7. А это значит, что этот стрелок попадает в мишень В среднем 7 раз из 10, или 70 раз из 100, или 700 раз из 1000 , то есть В среднем в 70 % выстрелов.

На практике, то есть с помощью реально проводимых испытаний, среднюю долю появления события А , а следовательно, и вероятность появлений события А в одном испытании можно, очевидно, найти лишь приближенно, ибо реальная доля появлений события А в сериях повторных испытаний от серии к серии меняется. Для достаточно надежного определения этой доли должно быть произведено много повторных испытаний (чем больше, тем лучше). Но в некоторых случаях указанную долю, а значит, и вероятность появления события А в одном испытании можно найти чисто умозрительно, без производства повторных испытаний. Причем найти не приближенно, а точно.

Пусть, например, нам известны все возможные исходы одного испытания, а, следовательно, мы знаем и их общее число N (полагаем, что N - число конечное). И пусть все эти исходы заведомо Равновозможны. Равновозможность исходов означает отсутствие каких-либо преимуществ по появлению у каждого исхода испытания по сравнению с любым другим возможным исходом. Равновозможные исходы испытания при повторении испытаний появляются в среднем одинаково часто.

Далее, пусть известно число M тех исходов, которые благоприятствуют появлению интересующего нас события А (это значит, что известно общее число M тех исходов испытания, при осуществлении которых автоматически появляется событие А). При повторении испытаний равновозможные исходы испытания будут наступать в среднем одинаково часто. А значит, если испытаний будет N, То каждый из возможных исходов испытания появится в среднем один раз. Тогда событие A в любых N испытаниях будет появляться в среднем M раз. То есть . А тогда из формулы (1.1) получаем:

(1.3)

Формула (1.3) называется Классической формулой. Напомним, что в ней N – Число всех возможных исходов испытания, а M – Число благоприятствующих событию A исходов. Ее можно применять лишь в том случае, когда все N возможных исходов испытания Равновозможны. Классическая формула (1.3) позволяет находить вероятности случайных событий без производства испытаний, чисто умозрительно. Причем находить эти вероятности Точно.

Пример1. Пусть испытание – это подбрасывание монеты, а событие A - это выпадение орла. В этом испытании два возможных исхода – орел и решка. То есть N = 2. В силу симметрии монеты эти два исхода равновозможны. Из них лишь один исход благоприятствует событию A (M=1).Тогда по классической формуле(1.3) получаем:

Полученный результат очевидным образом верен. Действительно, при повторных бросаниях симметричной монеты орел будет выпадать В среднем в 50% бросаний (эта цифра будет другой, если только монета не симметрична, например, погнута). И по формуле (1.2) получаем то же самое: = 0,5.

Кстати, если подбрасываемую монету нельзя считать симметричной (она как–то деформирована, так что симметрия ее сторон нарушена), то и в этом случае N = 2 – число всех возможных исходов испытания (орел и решка), а M = 1- единственный благоприятствующий событию A исход (орел). Но в данном случае классическую формулу (1.3) применять нельзя, ибо исходы испытания (орел и решка) не равновозможны. Тогда для определения вероятности выпадения орла при подбрасывании монеты остается один путь: бросать монету много раз (повторять испытания) и искать опытным путем Сср.% - средний процент выпадения появления события A (выпадения орла). После нахождения этого среднего процента можно будет по формуле (1.2) нейти искомую вероятность – вероятность выпадения герба при одном бросании данной монеты. Естественно, что таким путем можно найти лишь приближенно (тем точнее, чем больше будет произведено повторных бросаний монеты).

Пример2. Пусть испытание – это подбрасывание игральной кости (кубика с пронумерованными гранями), а событие A – выпадение цифры 5. В указанном испытании 6 возможных исходов, которые все равновозможны (N=6). А M=1 – один благоприятствующий событию A исход (выпадение пятерки). Тогда по классической формуле (1.3) получаем: Это цифра, в соответствии с формулой (1.1), означает, что из каждых 6 испытаний (из каждых 6 бросаний кубика) пятерка будет выпадать В среднем один раз. Это совершенно согласуется и со здравым смыслом.

Пример3. Пусть испытание – это вынимание наудачу одной карты из колоды в 36 карт. А событие A – это появление туза (любого). В указанном испытании N= 36 возможных исходов (любая из 36 карт может оказаться вынутой, и вынимание каждой из них – это возможный исход испытания). Все эти исходы, очевидно, равновозможны. А M=4 – число благоприятствующих событию A исходов (в колоде 4 туза). Тогда по классической формуле получаем: . Эта цифра, в соответствии с формулой (1.1), означает, что из каждых 36 испытаний (опытов по выниманию наудачу одной карты из колоды) событие A (туз) будет появляться В среднем 4 раза. Или, что одно и то же, из 9 испытаний событие A (туз) будет появляться В среднем 1 раз. Это совершенно согласуется и со здравым смыслом.

Примечание. Проведем, для сравнения, и неправильное решение этой же задачи. В указанном испытании всего два возможных исхода (N=2): вынимание туза и вынимание любой другой карты. А M=1 - один благоприятствующий событию А исход. И тогда, по классической формуле, получаем:

Но этот результат неверен, да он и не согласуется со здравым смыслом. Ошибка решения состоит в том, что оба указанные выше возможные исходы испытания не равновозможны, а такие исходы в классической формуле (1.3) применять нельзя.

Вероятности появления любого события А Можно дать Наглядную геометрическую интерпретацию. Для этого условимся представлять себе любое испытание как бросание наудачу точки на некоторую плоскую область площадью S, а событием А Будем считать попадание брошенной точки на некоторую часть этой области площадью SA (рис.1.1):

При повторных бросаниях средняя доля попаданий брошенной наудачу точки на область А, а значит и вероятность появления события А При каждом отдельном бросании (испытании) будет определяться, очевидно, отношением площадей SA и S. То есть

(1.4)

Эту очень полезную в силу ее наглядности геометрическую интерпретацию вероятности появления любого случайного события A Мы используем позже, при выводе некоторых важных формул теории вероятностей.

Следующая >