11.4. Ответы и решения

Ответы на вопросы: 1—4, 2 — 5, 3—2, 4 — 4, 5—2, 6—3, 7 — 3, 8—4, 9—2, 10—2.

Задача 1. Решение.

Модель линейного программирования и решение представлены в следующей таблице:

Цена игры v = 1/(0,196 + 0,131) = 3,06.

Вероятности выбора фирм Р = (0,6; 0,4; 0; 0; 0; 0).

Вероятности выбора наборов Q = (0,24; 0; 0,76; 0; 0; 0; 0).

Ответы: 1. 3,06. 2. Ф1. 3. B3 4. 2,3.

Задача 2. Решение.

Матрица игры и решение задачи линейного программирования представле­ны в следующей таблице:

Цена игры равна 0,96. Частоты использования игроком 1 своих стратегий Р = (0,11; 0,32; 0,24; 0,096; 0,077; 0,19).

Ответы: 1. 0,96. 2. 0,19. 3. 1. 4. На Гавайских островах.

Задача 3. Решение.

Матрица игры имеет вид

После исключения доминируемых стратегий матрица примет вид

После приведения данной матрицы к положительно определенной, решив задачу, получаем: цена исходной игры равна 0, т. е. белые, даже применяя опти­мальную стратегию, теряют на одного человека больше (здесь имеет смысл округлить цену игры до ближайшего целого). Другими словами, индейцы берут в плен на одного человека больше.

Оптимальная смешанная стратегия белых: с частотой 0,2 применять страте­гию (1, 3) и с частотой 0,8 — стратегию (3, 1). Оптимальная смешанная страте­гия индейцев: с частотой 0,4 применять стратегию (1, 4) и с частотой 0,6 — стра­тегию (3, 2).

Ответы: 1.0. 2. Индейцы. 3.1. 4.0,2. 5.0,6.

Задача 4. Решение.

Данная игра — это игра двух лиц с ненулевой постоянной суммой. Сумма выигрышей обоих игроков при любых сочетаниях стратегий предприятий равна 6 (все числа в матрице выигрышей даны в миллионах). Сведем ее к игре двух лиц с нулевой суммой. Для этого до игры каждому предприятию выплачивается поло­вина постоянной суммы, т. е. 3, а из выигрыша каждого предприятия (из элемен­тов матрицы) вычитается 3. Полученная матрица соответствует игре с нулевой суммой, поэтому достаточно указать в ней только выигрыши одного (первого) предприятия. После необходимых расчетов матрица игры имеет вид

Прибавим к матрице число 3, чтобы все ее элементы были положительными. Матрица задачи и решение показаны в следующей таблице:

Цена преобразованной игры равна 1/0,34 = 2,94.

Оптимальная смешанная стратегия игрока 1 (частоты использования игроком 1 своих стратегий) Р = (0,23; 0,36; 0,41; 0).

Для игрока 2 оптимальная смешанная стратегия Q = (0,43; 0; 0,1; 0,47; 0). Цена исходной игры с нулевой суммой равна —0,06. Поскольку оба иг­рока получили по 3 млн руб., общий доход первого предприятия составляет 2,94 млн руб., доход второго предприятия равен 3,06 млн руб.

Ответы: 1. 2,94 млн руб. 2. 3,06 млн руб. 3. Изделие А3 4. Изделие B4 5. Частота применения стратегии «Выпускать изделие B2» равна нулю.

Задача 5. Решение.

Стратегии игрока 2: I — послать подводную лодку в регион 1; II — послать подводную лодку в регион 2. Множество стратегий игрока 1: {(0, 3), (1, 2), (2,1), (3, 0)}. Числа в скобках — это количество противолодочных кораблей, посыла­емых в каждый из двух регионов.

Вероятность обнаружить подводную лодку в регионе J с помощью K противо­лодочных кораблей равна (1 – (1 – РJ)K). Предположим, что выигрыш игрока 1 равен единице в случае обнаружения подводной лодки и нулю — в противном слу­чае. Тогда матрица игры имеет вид

Элементы матрицы — средние выигрыши игрока 1 в соответствующих ситу­ациях.

Модель линейного программирования и решение (элементы матрицы увели­чены на 1):

Цена игры равна 1/0,62 = 1,61. Цена первоначальной игры равна 1,61 – 1 = =0,61.

Частоты применения стороной А своих стратегий Р = (0; 0,92; 0,08; 0). Сторона В посылает подводную лодку в оба региона с равной вероятностью (0,31×1,61 = 0,5).

Ответы: 1. 0,61, т. е. средний выигрыш равен цене игры.

2. Стороне А не следует посылать в регион 2 три противолодочных корабля.

3. С частотой 0,92.

4. С частотой 0,5.

< Предыдущая		Следующая >