02. Неопределённый интеграл. Определение и свойства

В дифференциальном исчислении по данной функции находилась её производная. В этом разделе будем заниматься задачей, обратной к задаче нахождения производной.

Определение. Функция называется первообразной для функции (дифференциала ) на отрезке , Если дифференцируема на и для всех ().

Нетрудно видеть, что функция является первообразной для функции . Действительно,

.

Аналогично доказывается, что является первообразной для .

Докажем несколько свойств первообразных.

Теорема 1. Если – первообразная для функции , то , Где - некоторая константа, также является первообразной для .

Доказательство. Действительно, Теорема доказана.

Теорема 2. Если и Две первообразные одной и той же функции, то их разность Есть константа.

Доказательство. Докажем вначале, что если для , то есть константа на . Пусть - любые две точки из . По теореме Лагранжа о конечных приращениях, существует точка из отрезка такая, что . Так как по условию , то и поэтому, в силу произвольности , есть константа на . Вычисляя производную, получаем для и, по доказанному выше, есть константа. Теорема доказана.

Из теорем 1 и 2 получается важный результат.

Теорема 3. Любые две первообразные одной и той же функции связаны соотношением

Теорема 3 позволяет ввести нижеследующий объект.

Определение. Множество всех первообразных функции (дифференциала ) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .

Укажем несколько свойств неопределенного интеграла:

1. .

Действительно, если - какая-либо первообразная функции , то .

2. .

Доказывается аналогично.

3. .

Вычисляя дифференциал правой части, получаем . Последнее означает спра-ведливость доказываемого свойства.

4. ;

Аналогично предыдущему, вычисляя дифференциал правой части, получаем . Свойство доказано.

Заметим, что свойства 3 и 4 означают линейность операции интегрирования.

5. .

Так как, по свойству инвариантности формы первого дифференциала, , то, используя свойство1, получаем

.

Утверждение доказано. Это свойство лежит в основе нахождения интеграла с помощью замены переменной.

Используя свойства 1-5 и свойства дифференциалов, сводят вычисление интегралов к так называемым табличным интегралам.

Следующая >