02. Интеграл Лебега

Определение интеграла Лебега от ограниченной функции.

Пусть - произвольное измеримое множество. Разбиением множества назовём любую совокупность конечного числа измеримых множеств такую, что , , если . Пусть на множестве определена ограниченная функция . Для произвольного разбиения положим , И составим две суммы: , .

Числа , называют верхними и нижними суммами разбиения Т. Очевидно, .

Рассмотрим числовые множества всевозможных нижних и верхних сумм. Они ограничены снизу числом , а сверху числом , где , , и, следовательно, имеют точные грани. Числа и называются Нижним и верхним интегралами Лебега.

Определение. Ограниченная на измеримом множестве функция называется интегрируемой по Лебегу на этом множестве, если .

При этом число называется интегралом Лебега от функции и обозначается .

Связь между интегралами Римана и Лебега.

Теорема. Всякая функция, интегрируемая по Риману на , являются интегрируемой на по Лебегу, причём интегралы Римана и Лебега равны.

Единственная сложность в доказательстве показать, что из интегрируемости по Риману следует измиримость.

Замечание. Обратное утверждение неверно.

Известно, что функция Дирихле неинтегрируема по Риману

Пример. Функция Дирихле интегрируема по Лебегу

Т. к. , то для любого разбиения имеем . Рассмотрим разбиение сегмента на множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел. Для этого разбиения

Таким образом, множество содержит число . Поэтому

Так как все , то , а т. к. , получаем .

Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций.

Теорема. Для того чтобы ограниченная на измеримом множестве функция была интегрируема по Лебегу на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы была измерима на .

Интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм.

Пусть Ограниченная измеримая функция на множестве , , и пусть , ,… произвольные числа такие, что .

Лебеговским разбиением множества называется разбиение , где .

Пусть - произвольная точка из . Число называется лебеговской интегральной суммой (если какое-то , то соответствующее слагаемое равно ). Положим , где .

Теорема. Предел лебеговских интегральных сумм при равен интегралу Лебега, т. е.

Это определение аналогично определению интеграла Римана, однако на частичные сегменты разбивается не область определения, а множество значений функций.

Свойства интеграла Лебега.

2. Линейность

3. Аддитивность , если

4. Если и интегрируемы и , то

5. Если , то

Пусть функция неограниченная, неотрицательная, измеримая функция, заданная на ограниченном измеримом множестве . Введём Срезку Функции формулой , где . Функция ограничена, измерима и поэтому суммируема на .

Будем говорить, что функция интегрируема по Лебегу на множестве (или суммируема на ), если существует конечный предел . Этот предел называется интегралом Лебега функции.

Пусть произвольная измеримая функция не обязательно знакоопределённая заданная на ограниченном измеримом множестве .

Введём функции .

Интегралом Лебега функции называется число.

< Предыдущая		Следующая >