28. Признаки Дирихле и Абеля для рядов с произвольными комплексными членами
Докажем некоторые достаточные признаки сходимости рядов.
Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм
Такое преобразование частичных сумм называется Преобразованием Абеля. С его помощью докажем Неравенство Абеля.
Лемма (Неравенство Абеля). Если и , то
.
Доказательство.
Т. к. Þ
Важно, что оценка дается модулем первого и последнего члена и не зависит от числа слагаемых.
Замечание. Доказательство проходит и в случае . Т. е. можно потребовать просто монотонности .
Признак Дирихле. Пусть дан ряд : последовательность {An} – монотонно стремится к 0, а последовательность частичных сумм{Bn} ряда - ограничена, тогда ряд - сходится.
Доказательство.
""
"e>0 $ N(e): "n> N(e)
Теперь применяем неравенство Абеля
.
Согласно критерию Коши ряд сходится.
__________________
Докажем, что частичные суммы и ограничены при (при первая сумма равна 0, а вторая не ограничена).
Действительно
Сумма первых N Членов геометрической последовательности с первым членом и знаменателем есть
Действительная и мнимая части этого выражения не превосходят .
Примеры.
1. . Последовательность {1/N} – монотонно стремится к нулю. А последовательность - ограничена Þ по признаку Дирихле исходный ряд сходится.
2. 3.
Признак Абеля. Если последовательность {An} монотонна и ограничена, а ряд сходится, то ряд из произведений также сходится.
Доказательство.
$М:
Выберем произвольное e. Из сходимости Þ $ N(e): "n> N(e)"P>0
. Тогда согласно неравенству Абеля
Согласно критерию Коши ряд сходится.
____________________________________________
Пример.
Ряд сходится по признаку Дирихле. А последовательность ограничена и монотонна Þ по признаку Абеля исходный ряд сходится.
< Предыдущая | Следующая > |
---|