26. Знакопеременные ряды

Определение. Пусть " An³0, тогда ряд - Знакопеременный ряд.

Теорема Лейбница. Если и , то знакочередующийся ряд сходится. При этом " N - модуль N-ого остатка ряда не превышает модуля следующего члена ряда.

Доказательство.

Рассмотрим частичные суммы ряда четного порядка

Их можно записать в виде

,

Здесь каждая скобка неотрицательна, т. о. Þ последовательность частичных сумм четного порядка не убывает.

Заметим, что ту же последовательность можно записать и так

Þ

Т. е. неубывающая последовательность ограничена сверху Þ она сходится,

.

Покажем, что последовательность частичных сумм нечетного порядка стремится к тому же пределу. Действительно,

и Þ

Отметим, что для знакопеременного ряда справедливо S2k £ S £ S2k+1 . Так как { S2k } – неубывающая последовательность, а { S2k+1 } – невозрастающая последовательность. Обе сходятся к своей верхней (нижней) грани.

Þ S - S2k £ S2k+1 - S2k =A2k+1

И S2k-1 - S £ S2k-1 - S2k =A2k

Þ.

Пример.

- сходится в силу признака Лейбница. И его сумма .

Þ

Причина противоречия состоит в том, что не все свойства сумм переносятся на ряды. В частности, слагаемые можно переставлять только в абсолютно сходящихся рядах.

< Предыдущая		Следующая >