22. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами

1. Основные понятия.

Определение. Если ряд из модулей сходится, то ряд исходный ряд называется Абсолютно сходящимся.

Теорема 10.1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится в обычном смысле.

Доказательство.

Если ряд из модулей сходится, то для него выполнен критерий Коши Þ "e>0 $N(e): <e для "N>N и "M0, но |An+an+1+…+an+m|<e Þ для исходного ряда также выполнен критерий Коши и он сходится.

Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение. Если сам ряд сходится, а соответствующий ряд из модулей расходится, то ряд называется Условно сходящимся.

Из свойств неубывающих последовательностей Þ

Лемма. Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была бы ограниченна сверху, причем, если S=sup{}, то S – сумма ряда.

Пример.

=

Т. о. у ряда с положительными членами ограничена последовательность частичных сумм Þ ряд сходится.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!