18. Теоремы Мореры и Лиувилля

Теорема Мореры. Если F(Z)ÎC(g), g-односвязная и для " замкнутого gÌg: , то f(z)Î C¥(g).

Доказательство. При условиях теоремы $ Î C¥(g) (Теорема 6.1.), где Z0 и Z- произвольные точки g, а интеграл берется по " пути внутри g, соединяющему эти точки. При этом F'(z)=f(z). Но производная аналитической функции сама является аналитической функцией (Теорема 8.1), в частности $ F"(z)= f '(z) ÎC(g).

Теорема Лиувилля. Если F(z)- аналитическая на всей комплексной области и $ M: |F(Z)| M, F(Z) º const.

Доказательство. Выразим значение F '(z) в произвольной точке Z через значения функции на окружности радиуса R с центром в точке Z

.

На CR: |x -Z|=R. По условию теоремы $ M: |F(x)| M не зависимо от R=>

Устремив R®¥, получим |F '(Z)|=0 Þ f(Z)=const для " Z.

Замечание. Отсюда, в частности следует, что $ Z: |sin(Z)|>1.

< Предыдущая		Следующая >