5.3. Решение задач
Пример 1. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X – число появлений события A в трех опытах. Построить ряд и многоугольник распределения, функцию распределения случайной величины X. Найти: 1) вероятность событий: A={X<2}; B={}; C={
}; 2) математическое ожидание
, дисперсию
, среднее квадратическое отклонение
случайной величины X.
Решение. Случайная величина X может принимать значения ;
;
;
. Соответствующие им вероятности
найдем, воспользовавшись формулой Бернулли. При n=3,
;
имеем:
;
;
;
.
Отсюда ряд распределения случайной величины X имеет вид:
(Контроль: ).
Многоугольник распределения случайной величины X представлен на рис.6.
Рис. 6 Рис. 7
Найдем функцию распределения F(x). По определению функции распределения имеем: если , то
;
Если , то
;
Если , то
;
Если , то
;
Если , то
.
Итак,
График функции F(x) изображен на рис. 7.
1) Сначала вычислим искомые вероятности непосредственно:
;
;
.
Эти же вероятности найдем, воспользовавшись формулами:
и
. Тогда
;
;
2) Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу (3), получим . Вычислим дисперсию. По формуле (6) имеем:
=0,72. Тогда среднее квадратическое отклонение
.
Пример 2. Дан ряд распределения дискретной случайной величины X:
Найти моду.
Решение. Так как дискретная случайная величина X принимает значение с наибольшей вероятностью
по сравнению с двумя соседними значениями, то мода случайной величины X равна 20, т. е.
.
Пример 3. Дана функция
Рис. 8
Показать, что может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины X.. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Решение. Используя свойство нормированности плотности распределения, найдем, что
,
Кроме того, . Следовательно,
может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины. Так как прямая
является осью симметрии соответствующей дуги кривой
(см. рис.8), то математическое ожидание случайной величины X равно
, т. е.
. Найдем дисперсию, воспользовавшись формулой (8). Двукратным интегрированием по частям получим:
Пример 4. Дана плотность вероятности случайной величины X;
Найти функцию распределения F(X), вероятность попадания случайной величины X в промежуток , числовые характеристики величины X:
.
Решение. Найдем функцию распределения случайной величины X, для этого воспользуется соотношением (1).
Если x < 0, то .
Если , то
.
Если x > a, то .
Итак,
По формуле (*) имеем .
Найдем математическое ожидание случайной величины X. Согласно формуле (5)
.
Теперь отыщем дисперсию. По формуле (8)
Отсюда среднее квадратическое отклонение
.
Пример 5. Найти моду, медиану, математическое ожидание и функцию распределения случайной величины X с плотностью вероятности
Решение. Найдем точку максимума функции :
; отсюда
при
. Точка
является точкой максимума функции
, так как
, если
и
, если
. Следовательно, мода
.
Медиану определим из условия (9):
(или
).
В данном случае по формуле (2): , т. е.
.
Таким образом, приходим к уравнению: или
. Отсюда,
.
Воспользовавшись формулой (5), вычислим математическое ожидание случайной величины X:
Найдем функцию распределения случайной величины X.
Прежде всего заметим, что если x < 0, то
Если же то
т. е.
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|