01. Бесконечно малые и большие величины

Понятие бесконечно малых величин возникло давно и оказалось исключительно удачным. Это понятие позволило изучать не статические явления, а процессы (изменение во времени).

Вообще, величиной называют все то, что можно измерить в определенных единицах, и таким образом, охарактеризовать числом.

Та единица измерения, через которую можно выразить переменную или постоянную, называется размерностью величины. Например, длина чего–либо, температура, концентрация определенных частиц в воздухе, городской бюджет и т. д. Часто рассматривают величины без размерности: отношение длины окружности к диаметру – число π – постоянная величина, банковский процент – премия банка в долях суммы, отданной банку. В математике очень удобно оперировать именно с такими безразмерными величинами, их можно вычитать, складывать, умножать, не вникая в реальный (физический) смысл получаемых величин.

Величины бывают переменные и постоянные. Разумеется, это весьма условно. Если рассматривать множество окружностей разного размера, то их диаметр – величина переменная. Если же рассматривать множество треугольников, вписанных в данную окружность, то диаметр окружности – величина постоянная, а переменными окажутся длины сторон треугольника. Множество примеров на эту тему дает нам жизнь.

Переменная величина называется непрерывной, если в процессе своего изменения она принимает все числовые значения, или все значения, заключенные между некоторыми границами. В противоположность этому, величина, принимающая отдельные, оторванные друг от друга значения, называется дискретной.

Совокупность тех значений, которые может принимать переменная величина, называется областью определения этой величины. Для указания этой области вводится понятие интервала.

Конечным (ограниченным интервалом) называется совокупность всех чисел, заключенных между какими–либо двумя данными числами А и B. Эти числа называются концами интервала (его границей). Причем, если сами концы присоединяются к этому интервалу, то интервал называется замкнутым, в данном случае его называют отрезком [А,B], если же концы не причисляют к интервалу, он называется открытым и обозначается (A, b).

Для ускорения записи и экономии бумаги математики придумали значки, называемые кванторами. С их помощью можно формулировать очень компактно, занимая мало места на листе бумаги, многие утверждения, определения, теоремы. Поэтому математические тексты так трудно читать неспециалистам.

Мы будем, как и в школе, употреблять кванторы:

– квантор принадлежности, например, т. М– точка М принадлежит открытому интервалу, ограниченному числами A и B.

– квантор логического следования, например, есть бесконечно малая величина (это определение бесконечно малой).

– квантор справедливости прямого и обратного утверждения, например: треугольник прямоугольный квадрат стороны равен сумме квадратов других сторон (справедливо и обратное утверждение: если квадрат стороны треугольник равен сумме квадратов других сторон, то он прямоугольный).

Интервал изменения переменной величины может быть неограниченным, например, означает, что переменная величина Х может принимать значение А и все другие, большие А. Если , то переменная величина может принимать все отрицательные и все положительные числа (их называют рациональными). Множество рациональных чисел обозначают R Поэтому то же самое, что .

В качестве замечания отметим, что множество натуральных чисел обозначают N. Это числа 1, 2, 3…

Множество целых чисел .

Областью изменения непрерывной величины служит интервал или совокупность некоторого числа интервала.

Областью изменения дискретной величины служит совокупность конечного или бесконечного количества отдельных чисел.

Если переменная величина в некотором процессе меняется все время в одном направлении, т. е. все время возрастает или все время убывает, то она называется монотонной.

Величина называется ограниченной сверху, если в процессе своего изменения она все время остается меньше некоторой постоянной величины. Аналогично, величина называется ограниченной снизу, если она больше некоторой постоянной величины. Величина называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

При исследовании величин очень удобно пользоваться понятием модуля (абсолютной величины)

Def: , если , , если

Значок Def (от слова дефинейшен) означает, что после него следует определение. Вертикальные палочки слева и справа от буквы означают модуль буквенной величины.

Исходя из определения ; , .

Если , то

Модуль имеет следующие простые свойства:

1)

2) – равенство имеет место, когда величины X И Y имеют одинаковые знаки.

3)

4)

Если значение переменной величины X откладывать на числовой прямой, то дает расстояние между точками на этой прямой.

Неравенство определяет интервал ; этот интервал называется – окрестностью числа ноль.

Неравенство определяет интервал .

Это e-окрестность точки (или числа) .

Рисунок 1 – e-окрестности двух точек: 0 и . Одномерное пространство .

Переменная величина X называется бесконечно малой в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично приближается к нулю . Это следует понимать так: переменная величина X, начиная с некоторого момента становится по модулю меньше 0,1 ; с другого, более позднего момента она становится и т. д. И, наконец, если выбрать произвольно малое число , то наступит такой момент, начиная с которого .

Бесконечно малые величины обычно обозначают буквами греческого алфавита: α, β, γ… В случае необходимости пишут .

Аналогично вводится понятие бесконечно большой величины. Переменная величина X называется бесконечно большой в некотором процессе, если она в этом процессе безгранично возрастает по абсолютной величине. Это означает, что если выбрать конкретное большое положительное число N, то в процессе изменения наступит такой момент, начиная с которого . В этом случае говорят, что X стремится к бесконечности, и пишут .

< Предыдущая		Следующая >