§ 01. Множества. Операции над множествами. Числовые множества

Множество – одно из основных понятий современной математики. Это понятие не сводится к другим понятиям и не определяется. Объекты, составляющие множество, называют его Элементами. Множества обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C, X, …, их элементы – прописными буквами: A, B, C, X, … или буквами с индексами A1, A2, A3, ... Множество, не содержащее ни одного элемента, называют Пустым и обозначают Æ.

Чтобы задать множество, необходимо знать, какие объекты принадлежат множеству, а какие нет. Если множество содержит немного элементов, то его можно задать, перечислив все его элементы. Если множество задано списком, то его элементы записывают в фигурных скобках через точку с запятой. Множество цифр можно записать следующим образом: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}; множество простых чисел, меньших 20, – B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}; множество дней недели – С = {понедельник; вторник; среда; четверг; пятница; суббота; воскресенье}.

Однако задать множество списком можно только тогда, когда оно содержит конечное число элементов (но и это неудобно, если число элементов множества велико). Существует универсальный способ задания множеств. Множество может быть задано с помощью Характеристического свойства, то есть такого свойства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству. Задание множества с помощью характеристического свойства записывают следующим образом: А = {Х | P(Х)}, где P(X) – характеристическое свойство.

Приведем несколько примеров:

1. Если , то .

2. Пусть B – множество остатков от деления натуральных чисел на 7. Тогда .

3. Если D – множество действительных чисел, не меньших двух и не больших семи, то D – отрезок [2; 7].

Рассмотрим два множества A и B. Если каждый элемент множества B является элементом множества A, то говорят, что B – Подмножество множества A. Этот факт записывают так: В Ì А. Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества. Каждое непустое множество А имеет хотя бы два подмножества – само множество А и пустое множество.

Пусть даны два множества А и В.

Пересечением (Произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Обозначают пересечение множеств A Ç B:

A Ç B = { Х | Х Î A и Х Î B}.

Объединением (Суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначают объединение множеств A È B:

A È B = { Х | Х Î A или Х Î B}.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначают разность множеств A \ B:

A \ B = { Х | Х Î A и Х Ï B}.

Элементами множества могут быть различные объекты – числа, слова, геометрические фигуры, функции и т. д. В математике особую роль играют Числовые множества, то есть множества, элементами которых являются числа.

Например: ¥ – множество натуральных чисел, ¢ – множество целых чисел, ¤ – множество рациональных чисел, ¡ – множество действительных чисел.

Напомним, что натуральными называют числа, используемые при счете предметов, то есть . Целыми считают натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число ноль. Таким образом, . Рациональные числа – это обыкновенные дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: . Любое рациональное число может быть записано в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.

Все десятичные дроби (в том числе и бесконечные непериодические) образуют множество действительных чисел. Действительные числа изображают точками на координатной прямой (числовой оси). Точка О, соответствующая числу 0, разбивает координатную прямую на два луча: положительный и отрицательный. Число, изображением которого на координатной прямой является точка М, называется Координатой точки М. Если , то точка с координатой лежит левее точки с координатой .

Особое значение в математике имеют подмножества множества ¡, называемые числовыми промежутками: Отрезок [A; B] – множество точек Х, удовлетворяющих условию ; Интервал (A; B) – множество точек Х, удовлетворяющих условию ; Полуинтервалы [A; B) и (A; B] – множества точек Х, удовлетворяющих условиям и соответственно; бесконечные промежутки (A; +¥), (– ¥; B), [A; +¥), (–¥; B] – множества точек Х, удовлетворяющих условиям , , , соответственно.

Множество точек числовой прямой, удовлетворяющих условию , называется Окрестностью точки А радиуса R. Окрестность можно записать также через двойное неравенство или неравенство с модулем .

Следующая >