04. Решение типовых задач

Задача 1.1.

По районам региона приводятся данные за 200Х г. (табл. 1.1).

Таблица 1.6

Номер района	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., Х	Среднедневная заработная плата, руб., У
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение:

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.2).

;

Таблица 1.2

№	Х	У	Xy	X2	Y2		YI-
1	78	133	10374	6084	17689	149	-16	11,84962
2	82	148	12136	6724	21904	152	-4	3
3	87	134	11658	7569	17956	157	-23	17,19403
4	79	154	12166	6241	23716	150	4	2,805195
5	89	162	14418	7921	26244	159	3	1,925926
6	106	195	20670	11236	38025	175	20	10,50256
7	67	139	9313	4489	19321	139	0	0,258993
8	88	158	13904	7744	24964	158	0	0,025316
9	73	152	11096	5329	23104	144	8	5,157895
10	87	162	14094	7569	26244	157	5	3,061728
11	76	159	12084	5776	25281	147	12	7,597484
12	115	173	19895	13225	29929	183	-10	5,66474
Итого	1027	1869	161808	89907	294377			69,0435
Среднее Значение	85,6	156	13484	7492,25	24531,42			5,753625
S	13,5	17,3
S2	183	298

.

Получено уравнение регрессии: .

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

; .

Это означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 8-10%.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н0 о статистически незначимом отличии показателя от нуля: .

Определим случайные ошибки Ma, mb, :

;

;

.

Тогда

; ;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

; ; ,

Поэтому гипотеза Н0 отклоняется, т. е. A, B и Rxy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для A и B. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

; .

Доверительные интервалы:

;

;

;

;

;

.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры A и B, находясь в указанных границах, не принимают нулевые значения, т. е. не являются статистики незначимыми и существенно отличаются от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение промежуточного минимума составит: тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит: тыс. руб.

5. Ошибка прогноза составит:

тыс. руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

;

руб.;

руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным, но неточным, т. к. диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,95 раза (121/62,2).

Задача 1.2.

Зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода по данным 20 семей характеризуется следующим образом:

- уравнение регрессии ;

- индекс корреляции ;

- остаточная дисперсия .

Требуется провести дисперсионный анализ полученных результатов.

Решение:

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Вариация результата y	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений, S	Дисперсия на одну степень свободы, D	Fрасч	Fтабл A=0,05 K1=1, K2=18
Общая	Df=n-1=19	6,316
Факторная	K1=m=1	5,116	5,116	76,7	4,41
Остаточная	K2=n-m-1=18	1,200	0,0667

;

;

;

.

В силу того, что , гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода.

< Предыдущая		Следующая >