2.11. Некоторые проблемы, связанные . с проверкой гипотез о значениях . коэффициентов

Итак, фактически, мы уже построили критерий проверки гипотезы

Против альтернативы

Это тот же критерий с уровнем значимости , который был предназначен для проверки гипотезы против альтернативы Такой критерий отвергает гипотезу при

Что и имеет место в нашем примере. Соответственно, Нулевая гипотеза эластичности потребления текстиля по цене отвергается.

Мы также фактически построили критерий проверки гипотезы

Против альтернативы

Что Не выполняется в нашем примере. Соответственно, Нулевая гипотеза неэластичности потребления текстиля по доходу отвергается.

Представляет, однако, интерес то, какие решения будут приняты, если Поменять местами нулевую и альтернативную гипотезы.

В отношении эластичности по цене возьмем теперь пару гипотез

При построении соответствующего критерия достаточно обратиться к критерию для пары

Который отвергает гипотезу при

(на Левом хвосте распределения ). Но у нас

Так что гипотеза, а значит, иНе отвергаются в пользу

Итак, здесь Нулевая гипотеза о неэластичности потребления по цене Не отвергается, и это решение Согласуется с отклонением нулевой гипотезы об эластичности потребления по цене.

Рассмотрим, наконец, пару гипотез

Здесь мы исходим из критерия, предназначенного для пары

И, с учетом использования знаков равенства в этих парах, отвергаем гипотезу при

В нашем случае

Так что гипотеза Не отвергается.

Итак, здесь Нулевая гипотеза эластичности потребления по доходу не отвергается. Но ранее мы установили, что и нулевая гипотеза неэластичности Потребления по доходу Также не отвергается.

Из рассмотренного примера мы должны сделать важнейший вывод:

Решения об отклонении или неотклонении одной из двух соперничающих гипотез могут быть различными, в зависимости от того, какая из двух гипотез принимается за основную (нулевую).

При решении вопроса о характере зависимости потребления текстиля от его относительной цены оба варианта выбора нулевой гипотезы дали согласованные результаты: основная гипотеза неэластичности не отвергается, а основная гипотеза эластичности отвергается.

Однако при решении вопроса о характере зависимости потребления текстиля от располагаемого дохода не отвергаются ни основная гипотеза эластичности ни основная гипотеза неэластичности. В такой ситуации Каждый из исследователей, придерживающихся Противоположных априорных позиций относительно эластичности или неэластичности потребления текстиля по доходу, может считать, что имеющиеся статистические данные «Подтверждают» Именно его гипотезу, хотя правильнее заключить, что имеющиеся статистические данные «Не противоречат» его гипотезе В рамках соответствующего статистического критерия.

Мы должны теперь сделать еще одно важнейшее замечание. Пусть

Тогда — статистика критерия равна

Гипотеза отвергается в пользу , если

Но При , и это означает, что Если , то гипотеза Не может быть отвергнута в пользу.

Следовательно, если мы сначала оценим по имеющимся статистическим данным коэффициент , и только после этого выберем указанную пару гипотез для некоторого значения то в такой ситуации построенный по Тем же Данным указанный -критерий Никогда не отвергнет гипотезу В пользу.

Аналогично, если мы, Оценив , формулируем пару гипотез

Для некоторого то тогда соответствующий односторонний -критерий, построенный по Тем же Данным, Никогда не отвергнет гипотезу В пользу.

В случае Двухстороннего -критерия

Формулирование гипотезы с , где— Оцененное значение параметра , приводит к тому, что эта гипотеза Заведомо не будет отвергнута (-статистика принимает Нулевое значение).

Логическая ошибка в последних трех случаях состоит в том, что Теория статистических критериев строится в предположении, что гипотезы и Фиксируются до Обращения к статистической обработке данных.

В последней ситуации априори нельзя абсолютно точно сказать, будет ли значение Больше или меньше Заранее выбранного гипотетического значения.

Пример. Пусть - совокупные расходы на личное потребление в США, - совокупный располагаемый доход (1970—1979 г. г., млрд. долларов в ценах 1972 г.).

Подобранная модель

Уже зная, что , Бессмысленно (или Нечестно) ставить задачу проверки гипотезы против альтернативы , поскольку на основании имеющихся наблюдений гипотеза Заведомо не будет отвергнута. Она отвергается лишь при больших Положительных значениях -статистики

А у нас числитель последнего отношения принимает Отрицательное значение. Другое дело, что сформулировать такую гипотезу еще До анализа Статистических данных вполне разумно. Впрочем, последнее вовсе не означает, что будет всегда меньше единицы, даже если истинное .

Проверим теперь гипотезу против односторонней альтернативы в той же ситуации, но на основании данных за период с 1970 по 1981 г., лет.

В этом случае , так что -статистика

Если мы используем для проверки гипотезы Двусторонний -критерий с уровнем значимости , то будем отвергать, когда

Если же использовать Односторонний -критерий с уровнем значимости , то будем отвергать, когда

В обоих случаях вероятность ошибочного отклонения гипотезыРавна .

Представим теперь, что В действительности . Тогда распределение Стьюдента имеет статистика

Какова вероятность того, что гипотеза будет отвергнута?

При использовании Двустороннего критерия

Или

или

А при использовании Одностороннего критерия эта вероятность будет равна

Таким образом, вероятность отвергнуть ошибочную гипотезу в случае, когда В действительности , равна

— При использовании двухстороннего критерия,

— При использовании одностороннего критерия;

Две последние величины представляют собой Мощности Соответствующих критериев при частной альтернативе .

Односторонний критерий имеет Более высокую мощность — против у двухстороннего критерия — При той же вероятности ошибочного отклонения нулевой гипотезы, равной . Такое же положение будет, если в действительности и значение входит в множество значений параметра , составляющих Альтернативную гипотезу (т. е. ). Это говорит о Предпочтительности одностороннего критерия По сравнению с двухсторонним При использовании в качестве альтернативной гипотезы .

< Предыдущая		Следующая >