2.03. Числовые характеристики случайных . величин и их свойства

Случайные величины, с которыми мы имеем дело в данном курсе, Полностью определяются заданием их Функции плотности, указывающей на зоны более вероятных и менее вероятных значений случайной величины. Часто, однако, интересуются более сжатыми характеристиками распределений случайных величин, выраженными Отдельными числами. К таким характеристикам, в первую очередь, относятся Математическое ожидание И Дисперсия Случайной величины.

Пусть случайная величина имеет функцию плотности . График функции ограничивает вместе с осью абсцисс Полосу переменной ширины. Если рассматривать эту полосу как материальный объект определенной (постоянной) толщины, изготовленный из однородного материала и имеющий массу, равную единице, то абсцисса центра тяжести этого материального объекта называется Математическим ожиданием (Expectation) Случайной величины X, обозначается E (X) И вычисляется по формуле

Если график функции плотности Симметричен относительно оси ординат (так что — Четная функция), то

Довольно часто о говорят как о Среднем значении случайной величины X. Это связано с тем, что если — Независимые копии случайной величины (т. е. случайные величины независимы в совокупности и имеют то же распределение, что и ), то тогда При больших для Наблюдаемых значений случайных величин имеет место Приближенное равенство

Тем более точное, чем больше значение . Иными словами, с увеличением значение сколь угодно точно приближается значением среднеарифметического наблюдаемых величин .

Обратимся опять к упомянутому ранее Гауссовскому (нормальному) распределению с функцией плотности

И пусть случайная величина имеет такое распределение с , а случайная величина имеет такое распределение с . Сравним графики соответствующих функций плотности (сплошной линией представлен график функции плотности случайной величины ):

Поскольку в обоих случаях графики симметричны относительно нуля, то

Т. е. Математические ожидания случайных величин и Совпадают. Однако, распределение случайной величины Более рассредоточено, и это означает, что Для любого

При этом говорят, что распределение случайной величиныИмеет Более тяжелые (Heavy), или Более длинные (Long) Хвосты (Tails). Соответственно,

В рассмотренном случае в качестве числовой характеристики степени рассредоточенности распределения можно было бы принять параметр: чем больше значение этого параметра, тем более рассредоточено распределение. В общем случае, сравнивать степени рассредоточенности распределений случайных величин можно, привлекая для этой цели понятие Дисперсии.

Дисперсией (Variance) Случайной величины X Называют число

Равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величиныОт ее математического ожидания. [1] Зная функцию плотности случайной величины, дисперсию этой случайной величины можно вычислить по формуле

Таким образом, математическое ожидание Можно интерпретировать как Взвешенное среднее возможных значений Случайной величины , с весами, пропорциональными , а дисперсию— как Взвешенное среднее (с теми же весами) квадратов отклонений возможных значений Случайной величины От ее математического ожидания.

Если случайная величина имеет Нормальное распределение с функцией плотности

То для нее

Таким образом, случайная величина, имеющая Нормальное распределение, Полностью определяется (в отношении ее распределения) заданием значений ее математического ожидания и дисперсии.

В связи с частым использованием нормально распределенных случайных величин в дальнейшем изложении, мы будем обозначать нормальное распределение, имеющее математическое ожидание и дисперсию , символом . В случае, когда,, говорят о Стандартном нормальном распределении. Имеются весьма подробные таблицы значений функции распределения и функции плотности стандартного нормального распределения.

Для дальнейшего нам, в первую очередь, понадобятся следующие простые Свойства математического ожидания и дисперсии.

Если - некоторая Постоянная, отличная от нуля, а- некоторая Случайная величина, то тогда сумма и произведение также являются случайными величинами; при этом,

Два свойства, касающиеся математического ожидания, непосредственно следуют из определения математического ожидания. При выводе первого из них учитываем, что по самому определению функции плотности распределения,

Из этих двух свойств математического ожидания легко получаем указанные два свойства дисперсии. Действительно,

Таким образом, изменение случайной величины на некоторую постоянную вызывает такое же изменение математического ожидания, но не отражается на дисперсии. Изменение случайной величины в раз приводит к такому же изменению математического ожидания и изменяет значение дисперсии в раз.

В применении к линейной модели наблюдений

С фиксированными и взаимно независимыми гауссовскими ошибками, мы имеем:

~ ~

Соответственно,

Заметим, наконец, что если — случайные величины и , то

И если случайные величины Попарно некоррелированы, т. е.

То тогда

В применении к последней линейной модели наблюдений это означает, что рассматриваемая как случайная величина оценка наименьших квадратов, которую мы представили ранее в виде

Где

Так что — Фиксированные величины, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием

И дисперсией

< Предыдущая		Следующая >