13. Системы дифференциальных уравнений

Мы ограничимся здесь рассмотрением систем дифференциальных уравнений первого порядка с двумя и тремя неизвестными функциями. Переход к общему случаю не представляет каких-либо принципиальных затруднений.

Определение 1. Нормальная система двух дифференциальных уравнений называется линейной системой первого порядка, если она имеет вид

(1)

Определение 2. Линейная система дифференциальных уравнений (1) называется однородной, если

В дальнейшем обратимся лишь к частному случаю – однородной линейной системе с постоянными коэффициентами.

Решением системы (1) называется всякий набор из двух функций

, (2)

Обращающих оба уравнения системы (1) в тождество.

Задача Коши для системы (1) состоит в том, чтобы найти такое решение (2), которое при принимало бы заданные значения (начальные условия)

Общее решение системы содержит две произвольные постоянные и , фиксируя которые, находят любое частное решение.

Геометрически решение (2) определяет некоторую линию ( интегральную кривую системы) на плоскости . Если считать, что аргумент играет роль времени, то указанная кривая будет служить траекторией точки, движущейся на плоскости .

Тат как в этом случае определяет вектор скорости, то с механической точки зрения система (1) означает задание поля скоростей в каждый момент времени , а решение задачи Коши равносильно нахождению траектории точки, движущейся под воздействием этого поля и занимавшей в начальный момент времени положение . Плоскость , на которой рассматривается движение называется Фазовой.

Нормальная система трех уравнений первого порядка имеет вид:

(3)

Все основные понятия и определения, сказанные выше для системы двух уравнений, повторяются и для системы (3) с той лишь разницей, что добавляется везде третья функция , а вместо фазовой плоскости надо рассматривать фазовое пространство .

Для решения системы дифференциальных уравнений может быть использован обычный метод исключения неизвестных, сводящий систему (1) к одному дифференциальному уравнению от неизвестной функции второго порядка, а систему (3) – к дифференциальному уравнению третьего порядка. Если метод исключения применяется к линейной системе, то получается также линейное дифференциальное уравнение, к решению которого можно применять выше рассмотренные методы.

Пример. Решить задачу Коши для линейной системы

Решение. Запишем систему в виде

И, применяя метод исключения, выразим из первого уравнения через и :

После подстановки во второе уравнение будем иметь ( при ):

Получили неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка. Используя метод решения такого вида уравнений, рассмотренный выше, получим его общее решение

А так как было выражено через , то вычисляя производную и подставив выражение

Получим общее решение данной системы

Теперь обратимся к начальным условиям, используя которые, определим постоянные и .

Так как , то при имеем

И так как , , следовательно,

Получим систему

Таким образом, решением данной задачи Коши являются функции

Пример. Проинтегрировать систему уравнений

Или

Решение. Из первого уравнения данной системы находим и подставим его производную во второе уравнение системы, тогда получим .

Уравнение второго порядка неоднородное с постоянными коэффициентами. Для решения этого уравнения воспользуемся методом решения для этого вида уравнения, рассмотренным выше.

Общее решение уравнения будет функция .

Так как , то, вычислив производную, подставим ее выражение в это равенство

Общее решение системы

Пример. Найти общее решение системы

Где - неизвестные функции.

Решение. Исключим из этих уравнений; для этого из третьего уравнения найдем .

Продифференцируем полученное равенство по : , подставив значения и в первое уравнение, найдем из него , следовательно, .

Подставив значения во второе уравнение системы, будем иметь

или .

Получили линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

Следовательно, - общее решение уравнения будет

Чтобы определить неизвестные функции и , найдем и из последнего равенства:

Откуда

Общим решением данной системы будет система функций

Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами применяется также Метод Эйлера.

Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений

(4)

Где .

Определение. Линейной комбинацией вектор-функций и на интервале называется вектор-функция .

Теорема. Пусть вектор-функция

Решения на однородной системы (4). Тогда любая их комбинация также есть решение на этой системы.

Рассмотрим на конкретном примере метод Эйлера.

Пример. Решить систему

Решение. Искомыми функциями являются функции .

Составим характеристический многочлен для данной системы

Находим корни характеристического уравнения

Составим для вспомогательную алгебрагическую систему

Получили систему, имеющую бесчисленное множество решений. Выразим через : и пусть , тогда . Тогда вектор-функция - это первое фундаментальное решение.