13. Системы дифференциальных уравнений
Мы ограничимся здесь рассмотрением систем дифференциальных уравнений первого порядка с двумя и тремя неизвестными функциями. Переход к общему случаю не представляет каких-либо принципиальных затруднений.
Определение 1. Нормальная система двух дифференциальных уравнений называется линейной системой первого порядка, если она имеет вид
(1)
Определение 2. Линейная система дифференциальных уравнений (1) называется однородной, если
В дальнейшем обратимся лишь к частному случаю – однородной линейной системе с постоянными коэффициентами.
Решением системы (1) называется всякий набор из двух функций
, (2)
Обращающих оба уравнения системы (1) в тождество.
Задача Коши для системы (1) состоит в том, чтобы найти такое решение (2), которое при принимало бы заданные значения (начальные условия)
Общее решение системы содержит две произвольные постоянные и , фиксируя которые, находят любое частное решение.
Геометрически решение (2) определяет некоторую линию ( интегральную кривую системы) на плоскости . Если считать, что аргумент играет роль времени, то указанная кривая будет служить траекторией точки, движущейся на плоскости .
Тат как в этом случае определяет вектор скорости, то с механической точки зрения система (1) означает задание поля скоростей в каждый момент времени , а решение задачи Коши равносильно нахождению траектории точки, движущейся под воздействием этого поля и занимавшей в начальный момент времени положение . Плоскость , на которой рассматривается движение называется Фазовой.
Нормальная система трех уравнений первого порядка имеет вид:
(3)
Все основные понятия и определения, сказанные выше для системы двух уравнений, повторяются и для системы (3) с той лишь разницей, что добавляется везде третья функция , а вместо фазовой плоскости надо рассматривать фазовое пространство .
Для решения системы дифференциальных уравнений может быть использован обычный метод исключения неизвестных, сводящий систему (1) к одному дифференциальному уравнению от неизвестной функции второго порядка, а систему (3) – к дифференциальному уравнению третьего порядка. Если метод исключения применяется к линейной системе, то получается также линейное дифференциальное уравнение, к решению которого можно применять выше рассмотренные методы.
Пример. Решить задачу Коши для линейной системы
Решение. Запишем систему в виде
И, применяя метод исключения, выразим из первого уравнения через и :
После подстановки во второе уравнение будем иметь ( при ):
Получили неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка. Используя метод решения такого вида уравнений, рассмотренный выше, получим его общее решение
А так как было выражено через , то вычисляя производную и подставив выражение
Получим общее решение данной системы
.
Теперь обратимся к начальным условиям, используя которые, определим постоянные и .
Так как , то при имеем
И так как , , следовательно,
Получим систему
Таким образом, решением данной задачи Коши являются функции
Пример. Проинтегрировать систему уравнений
Или
Решение. Из первого уравнения данной системы находим и подставим его производную во второе уравнение системы, тогда получим .
Уравнение второго порядка неоднородное с постоянными коэффициентами. Для решения этого уравнения воспользуемся методом решения для этого вида уравнения, рассмотренным выше.
Общее решение уравнения будет функция .
Так как , то, вычислив производную, подставим ее выражение в это равенство
.
Общее решение системы
.
Пример. Найти общее решение системы
,
Где - неизвестные функции.
Решение. Исключим из этих уравнений; для этого из третьего уравнения найдем .
Продифференцируем полученное равенство по : , подставив значения и в первое уравнение, найдем из него , следовательно, .
Подставив значения во второе уравнение системы, будем иметь
или .
Получили линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
Следовательно, - общее решение уравнения будет
.
Чтобы определить неизвестные функции и , найдем и из последнего равенства:
,
Откуда
.
Общим решением данной системы будет система функций
.
Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами применяется также Метод Эйлера.
Пусть дана однородная линейная система дифференциальных уравнений
(4)
Где .
Определение. Линейной комбинацией вектор-функций и на интервале называется вектор-функция .
Теорема. Пусть вектор-функция
Решения на однородной системы (4). Тогда любая их комбинация также есть решение на этой системы.
Рассмотрим на конкретном примере метод Эйлера.
Пример. Решить систему
.
Решение. Искомыми функциями являются функции .
Составим характеристический многочлен для данной системы
.
Находим корни характеристического уравнения
Составим для вспомогательную алгебрагическую систему
:
Получили систему, имеющую бесчисленное множество решений. Выразим через : и пусть , тогда . Тогда вектор-функция - это первое фундаментальное решение.
Составим вспомогательную алгебрагическую систему для
:
Получили систему с бесчисленным множеством решений; выразим через :
и пусть , тогда .
Тогда вектор-функция - второе фундаментальное решение.
Итак, фундаментальная система решений состоит из двух вектор-функций
.
Следовательно, вся совокупность решений системы есть множество
< Предыдущая |
---|