04. Однородные уравнения

Функция называется Однородной функцией своих аргументов изме­рения , если справедливо тождество

.

Например, функция есть однородная функция второго измерения, т. к.

При имеем функцию нулевого измерения. Например,

Есть однородная функция нулевого измерения так как

Дифференциальное уравнение вида называется Однородным относительно и , если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде

. (7)

Введя новую искомую функцию , уравнение (7) можно привести к уравне­нию с разделяющимися переменными.

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Здесь

Обе функции однородные 2-го измерения. Введем подстановку .

Найдем .

Тогда уравнение примет вид:

Или

Или

.

Разделяя переменные и интегрируя, имеем:

.

Вычислим интегралы:

.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения:

.

Решение. Данное уравнение является однородным, поэтому используем под­становку (или ),

.

Замена переменной приводит к уравнению:

.

Разделяя переменные, получим

.

Найдем общее решение:

.

Откуда

.

Возвращаясь к данной переменной , найдем общее решение заданного уравне­ния

.

Пример 3. Найти частное решение уравнения

.

Решение. Многочлены и - однородные многочлены второй сте­пени, поэтому воспользуемся подстановкой (или )

.

Приведем данное уравнение к виду

.

Заменим и Через новую функцию , получим уравнение

.

Получили уравнение с разделяющимися переменными:

.

Разделим переменные и найдем общее решение

.

Откуда или .

Вернемся к старой переменной

.

Используя начальное условие , найдем :

.

Частное решение имеет вид:

.

< Предыдущая		Следующая >