2.7.2. Асимптоты

Определение 23.4. Прямая называется Асимптотой Графика функции Y = F(X) , если расстояние от переменой точки этого графика до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Рассмотрим три вида асимптот и определим способы их нахождения.

1. Вертикальные асимптоты – прямые, задаваемые уравнениями вида х = а. В этом случае определение асимптоты подтверждается, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке А бесконечен.

Пример. Вертикальной асимптотой графика функции

Является прямая Х = 1.

Рис. 5

2. Горизонтальные асимптоты – прямые вида У = а. Такие асимптоты имеет график функции, предел которой при или при конечен, т. е.

Пример. Горизонтальными асимптотами функции Y = Arctg X являются

Рис. 6

3. Наклонные асимптоты – прямые вида Y = Kx + B. Найдем K И B. Поскольку

Если этот предел существует, конечен и не равен нулю. Однако даже при выполнении этих условий наклонная асимптота может не существовать. Для ее существования требуется, чтобы имелся конечный предел при разности F(X) – Kx. Этот предел будет равен B , так как

Замечание. Число вертикальных асимптот графика функции не ограничено, а наклонных и горизонтальных в сумме может быть не более двух (при и при ).

Пример.

Функция имеет бесконечный разрыв при Х = 1, то есть Х = 1 – вертикальная асимптота.

Поэтому горизонтальных асимптот график не имеет. Проверим наличие наклонных асимптот. Для этого вычислим

Тогда

Заметим, что оба предела не зависят от знака бесконечности, поэтому прямая Y = X + 1 является асимптотой графика на обоих концах оси Ox.

< Предыдущая		Следующая >