2.5.3. Разложение по формуле Тейлора некоторых элементарных функций

Найдем разложения по формуле Тейлора при А = 0 (точнее, по формуле Маклорена) функций Y = eX, Y = Sin X, Y = Cos X, Y = Ln(1 + X), Y = (1 + X)M.

1) F(X) = ех.

F(X) = F ′(X) = … = F (N)(X) = Ex, следовательно, F(0) = F ′(0) = … = F(N)(0) = 1. Подставляя эти результаты в формулу Маклорена, получим

Отметим, что для любого Х

2) F(X) = Sin X.

Разложение по формуле Маклорена имеет вид:

В этом случае, как и в предыдущем, при всех значениях Х

Можно предложить еще один вариант этой формулы:

3) F(x) = Cos X.

Таким же образом, как и для синуса, можно получить разложение по формуле Тейлора:

4) F(X) = Ln(1 + X). Тогда

Следовательно,

5) F(X) = (1 + X)M. При этом F (N)(X) = M(M - 1)…(M – N + 1)(1 + X) M-N,

F (N)(0) = M(M – 1)…(M – N +1). Тогда

Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений

Заменяя какую-либо функцию, для которой известно разложение по формуле Тейлора, многочленом Тейлора, степень которого выбирается так, чтобы величина остаточного члена не превысила выбранное значение погрешности, можно находить приближенные значения функции с заданной точностью.

Найдем приближенное значение числа Е, вычислив значение многочлена Тейлора при N=8:

При этом

< Предыдущая		Следующая >