1.2.3. Замечательные пределы

Теорема (первый замечательный предел).

Доказательство.

Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в начале координат и будем считать, что угол АОВ равен х (радиан). Сравним площади треугольника АОВ, сектора АОВ и треугольника АОС, где прямая ОС – касательная к окружности, проходящая через точку (1;0). Очевидно, что

Используя соответствующие геометрические формулы для площадей фигур, получим отсюдa, что

Или sinx<x<tgx. Разделив все части неравенства на sinx (при 0<x<π/2 sinx>0), запишем неравенство в виде:

Тогда

И по лемме о двух милиционерах

Замечание. Доказанное справедливо и при x<0.

< Предыдущая		Следующая >