05. Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцирование сложных и неявных функций
1°. Полным приращением функции называется разность
2°. Функция называется дифференцируемой в т.
, если ее приращение
может быть представлено в виде
.
Достаточным признаком дифференцируемости является непрерывность частных производных.
3°. Главная часть полного приращения функции , линейная относительно DX и DY называется ее полным дифференциалом и обозначается
.
Дифференциалы независимых переменных X и Y совпадают с их приращениями:
;
.
4°. В пространстве Rn для функции F (X1, ... Xn) полный дифференциал является линейной формой относительно .
5°. При достаточно малых приращениях аргументов полное приращение функции приближенно равно ее дифференциалу .
Этот факт используется в приближенных вычислениях.
Примеры:
А) Найти полное приращение функции в т.
.
Б) Найти полный дифференциал функции
В) Заменяя приращение функции ее полным дифференциалом, вычислить приближенно
А) По определению полного приращения функции в точке
В нашем случае
Первая часть линейна относительно
;
; вторая — при
,
является бесконечной малой более высокого порядка малости, чем первая.
Б)
Находим частные производные
,
,
.
В) Рассмотрим функцию .
При
имеем
;
Находим полный дифференциал функции в произвольной точке
.
Вычисляем полный дифференциал в точке (1, 2) при данных приращениях:
Тогда .
6°. Если функция дифференцируема в т.
, а функции
и
дифференцируемы в т.
, то сложная функция
дифференцируема в т.
и ее частные производные находят по формулам:
,
.
7°. Если , то полная производная
вычисляется по формуле
8°. Если функция зависит от переменных непосредственно и как сложная функция
, то следует различать частную производную, учитывающую непосредственную зависимость от переменных
и
и частную производную, учитывающую как непосредственную зависимость, так и через функции
и
,
.
Примеры:
А) Найти частные производные функции
, если
.
Б) Найти производную функции
, если
.
А) — сложная функция переменных
и
.
Б) Функция зависит от переменной
непосредственно и через функцию
9°. Если функция задана неявно уравнением
и
, то
.
Если функция двух переменных задана неявно уравнением
и
то
;
Примеры:
А) Вычислить производную функций, заданной неявно уравнениями
Решение: функция y (x) задана неявно уравнением
.
Б) Функция задана неявно уравнениями
Найти ее частные производные в т.
.
Решение:
,
,
,
,
;
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|