01. Введение в дифференциальное исчисление функции многих переменных

В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено, прежде всего, быстрым развитием вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяются возможности успешного применения математического аппарата при решении конкретных задач. Поэтому проблема повышения качества математической подготовки студентов продолжает оставаться актуальной.

Цель курса математического анализа – овладения студентами необходимым математическим аппаратом, помогающим анализировать, моделировать и решать прикладные инженерные задачи с применением в случае необходимости вычислительной техники.

В задачи курса математического анализа входит:

· развитие логического и алгоритмического мышления студентов;

· овладение студентами методами исследования и решения математических задач;

· Выработка у студентов умения самостоятельно расширять свои математические знания и проводить математический анализ прикладных инженерных задач.

Курс математического анализа является фундаментом математического образования. Это базовый курс для понимания и овладения целого ряда математических дисциплин, таких как курс «Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ», «Уравнения математической физики», «Численные методы» и многих других специальных дисциплин необходимых для подготовки современных специалистов.

Для систематической работы студентов в течении семестра введена поэтапная оценка знаний по всем видам работ: аудиторных, индивидуальных домашних работ, проверочных тестов и т. д. Учитывая кредитно-модульную систему обучения, курс «Математического анализа» разбит на модули. Каждый модуль заканчивается рубежным контролем – модульной контрольной работой, дающей возможность проверки усвоения базовых теоретических знаний и основных практических навыков.

Определяющим фактором в усвоении курса является самостоятельная работа студентов и система контроля за ней. В процессе обучения в каждом модуле кроме контрольных работ и тестов студенты выполняют индивидуальные расчетные задания и в конце каждого модуля защищают их. Таким образом кредитно-модульная система способствует активизации работы студентов на протяжении всего семестра и позволяет более точно оценить знания студентов по данной дисциплине. Курс «Математический анализ» для студентов инженерно – физических специальностей читается в течении 3 семестров. Каждый семестр разбит на три логических модуля, каждый из которых, в свою очередь, состоит из ряда подмодулей.

Структура курса «Математический анализ»:

Название модуля	Название подмодуля
Введение в математический анализ (элементы теории множеств, последовательности)	Подмодуль 1. Особенности элементарных функций. Логические знаки.
Подмодуль 2. Действия над множествами. Ограниченные и неограниченные множества. Точки сгущения.
Подмодуль 3. Точки сгущения. Наибольший и наименьший элементы числового множества.
Подмодуль 4. Определение предела последовательности. Бесконечно большие и неограниченные последовательности.
Подмодуль 5. Бесконечно малые последовательности и их свойства.
Подмодуль 6. Признаки существования предела последовательности.
Подмодуль 7. Техника вычисления пределов последовательностей.
Модульная контрольная работа №1
Предел и непрерывность функции одной переменной	Подмодуль 1. Определение предела функции по Коши и по Гейне.
Подмодуль 2. Вычисление простейших пределов.
Подмодуль 3. Первый и второй замечательные пределы.
Подмодуль 4. Вычисление пределов при помощи таблицы эквивалентных.
Подмодуль 5. Вычисление пределов при помощи отношений «О», «о».
Подмодуль 6. Исследование функции на непрерывность.
Модульная контрольная работа № 2
Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной переменной	Подмодуль 1. Вычисление производной по определению. Задачи на геометрический и физический смысл.
Подмодуль 2. Вычисление производных при помощи таблицы.
Подмодуль 3. Первый дифференциал. Его применение для приближённых вычислений.
Подмодуль 4. Вычисление производных и дифференциалов старших порядков.
Подмодуль 5. Теорема о среднем значении. Формула Тейлора. Различные формы остатка.
Подмодуль 6. Вычисление пределов при помощи правила Лопиталя и формулы Тейлора.
Подмодуль 7. Элементы поведения графика функции.
Подмодуль 8. Построение графиков.
Модульная контрольная работа № 3
Модуль 4 Неопределённый интеграл	Подмодуль 1. Понятие первообразной. Основные свойства первообразной.
Подмодуль 2. Таблица интегралов. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала.
Подмодуль 3. Интегрирование методом интегрирования по частям.
Подмодуль 4. Интегрирование элементарных дробей. Интегрирование рациональных функций.
Подмодуль 5. Интегрирование рациональной функции от и . Универсальная подстановка.
Подмодуль 6. Интегрирование иррациональностей.
Модульная контрольная работа № 4
Модуль 5 Определённый интеграл и его приложения. Несобственные интегралы.	Подмодуль 1. Интеграл Римана. Основные определения. Суммы Дарбу и их свойства.
Подмодуль 2. Условия существования интеграла Римана. Классы интегрируемых функций.
Подмодуль 3. Особенности интеграла Римана. Неравенства и теорема о среднем значении.
Подмодуль 4. Свойства интеграла как функции верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.
Подмодуль 5. Геометрические приложения интеграла Римана.
Подмодуль 6. Несобственные интегралы 1-ого и 2-ого родов.
Подмодуль 7. Абсолютная и условная сходимости интегралов.
Модульная контрольная работа № 5
Модуль 6 Функции многих переменных	Подмодуль 1. Пространство . Определения метрики и множеств в пространстве .
Подмодуль 2. Область определения функции нескольких переменных. Пределы и непрерывность.
Подмодуль 3. Частные производные и их свойства. Геометрический смысл для функции двух переменных.
Подмодуль 4. Производная сложной функции. Производная неявной функции. Полный дифференциал.
Подмодуль 5. Производные и дифференциалы старших порядков. Теорема о смешанных производных.
Подмодуль 6. Нормаль и касательная плоскость к поверхности.
Подмодуль 7. Формула Тейлора для функции многих переменных.
Подмодуль 8. Экстремум. Условный экстремум.
Модульная контрольная работа № 6
Модуль 7 Кратные интегралы	Подмодуль 1. Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
Подмодуль 2. Замена переменной в двойном интеграле.
Подмодуль 3. Геометрические и физические приложения двойного интеграла.
Подмодуль 4. Тройной интеграл. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.
Подмодуль 5. Замена переменной в тройном интеграле.
Подмодуль 6. Геометрические и физические приложения тройного интеграла.
Модульная контрольная работа № 7
Модуль 8 Теория поля	Подмодуль 1. Криволинейные интегралы 1-ого и 2-ого родов.
Подмодуль 2. Независимость криволинейного интеграла 2-ого рода от пути интегрирования. Формула Грина. Восстановление функции по её полному дифференциалу.
Подмодуль 3. Поверхностные интегралы 1-ого и 2-ого родов.
Подмодуль 4. Формула Гаусса-Остроградского. Формула Стокса.
Подмодуль 5. Скалярное поле. Градиент скалярного поля.
Подмодуль 6. Векторные поля. Поток векторного поля.
Подмодуль 7. Силовые линии векторного поля. Циркуляция векторного поля.
Модульная контрольная работа № 8
Модуль 9 Ряды	Подмодуль 1. Знакопостоянные числовые ряды.
Подмодуль 2. Знакочередующиеся числовые ряды.
Подмодуль 3. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда.
Подмодуль 4. Равномерная сходимость функциональных рядов. Свойства равномерно сходящихся рядов.
Подмодуль 5. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
Подмодуль 6. Применение рядов для приближённого вычисления.
Подмодуль 7. Разложение функций в ряд Фурье на основном промежутке.
Подмодуль 8. Разложение функций в ряд Фурье на произвольном промежутке.
Модульная контрольная работа № 9

Каждый из семи подмодулей методического пособия содержит необходимые определения и формулировки, примерное содержание аудиторного занятия и домашней работы.

Приведено 25 вариантов индивидуального домашнего задания.

Модуль заканчивается написанием модульной контрольной работы. В методическом пособии приведен перечень теоретических вопросов, содержащихся в модульной контрольной работе и образцы контрольной работы.

В результате изучения материала, содержащегося в этом модуле, студент должен освоить основные понятия и формулировки, изучить методы исследования функций многих переменных, и уметь их применять. Знания и умения, полученные в этом разделе, совершенно необходимы при изучении материала последующих модулей.

Модуль " Дифференциальное исчисление функции многих переменных " рассчитан на 64 часа занятий (16 лекционных часов, 16 часов практических аудиторных занятий, 32 часа самостоятельной работы).

Следующая >