02.2. Производная и дифференциал сложной функции

Пусть сложная функция. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет в точке производную и справедлива формула

.

Функция называется Промежуточным аргументом, а – Основным аргументом.

Полученное правило распространяется на сложную функцию, зависящую от нескольких аргументов. Предположим, что функции , , , дифференцируемы. Рассмотрим сложную функцию переменной через посредство промежуточных функций , , , :

.

Придадим фиксированному значению приращение . Тогда получит приращение , – приращение , – приращение .

Запишем в виде .

Так как , , дифференцируемы, поэтому и непрерывны, то в силу непрерывности при приращения , и . Переходя к пределам, имеем

.

< Предыдущая		Следующая >