2.2. Основные свойства бесконечно больших последовательностей

1. Арифметическая сумма нескольких бесконечно больших последовательностей одного знака есть бесконечно большая последовательность: например, если при и при , то и при ; если при и при , то и при .

2. Сумма бесконечно большой последовательности и ограниченной последовательности есть последовательность бесконечно большая.

Если при , а , где – постоянная величина, то при .

3. Произведение бесконечно большой последовательности на постоянное число есть бесконечно большая последовательность.

Если при и - постоянная величина, то при .

4. Частное от деления бесконечно большой последовательности на постоянное число есть бесконечно большая последовательность.

Если при и - постоянная величина, то при .

5. Если последовательность – бесконечно большая, причем ни при каком , то последовательность – бесконечно малая. Наоборот, если последовательность – бесконечно малая, причём ни при каком , то последовательность – бесконечно большая.

Если при , причём при всех значениях , то при . Если при , причём при всех значениях , то при .

6. Частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую последовательность есть бесконечно малая последовательность. Если , где – некоторое положительное число, и при , то – бесконечно малая последовательность, т. е. при . В частности, частное от деления бесконечно малой последовательности на бесконечно большую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Пример 6. Доказать, что последовательность есть бесконечно большая при .

Решение. Возьмем произвольное число и решим неравенство . Прологарифмировав, получим . Если взять , то для всех будет выполняться неравенство , а это значит, что последовательность бесконечно большая.

< Предыдущая		Следующая >