1. Числовая последовательность и ее предел

Определение 1. Если каждому натуральному числу по определённому правилу ставится в соответствие число , то множество чисел называется числовой последовательностью.

Определение 2. Числа, из которых составлена последовательность, называют её членами.

Задать числовую последовательность – значит, задать правило, с помощью которого по номеру члена можно найти этот член, т. е. задать функцию , где – правило соответствия между и , а .

Определение 3. Общим членом последовательности называется её –й член , записанный в виде функции от , т. е. .

Если задано, то последовательность имеет вид . Последовательность нельзя задать указанием нескольких её первых членов.

Определение 4. Числовая последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной последовательностью или просто постоянной.

Пример 1. , т. е. .

Пример 2. , т. е. .

Числовая последовательность – частный случай дискретной переменной величины , принимающей значение . Эта переменная упорядочена, так как если , то предшествует .

Определение 5. Постоянное число называется пределом числовой последовательности , если для всякого можно указать такой номер , начиная с которого все последующие члены последовательности удовлетворяют неравенству

. (1)

Записывается это так: при или (читают: « стремится к при , стремящемся к бесконечности, или предел при , стремящемся к бесконечности, равен »).

Неравенство (1) можно переписать в виде

Или . (2)

Рисунок 1

Определение 6. Интервал (промежуток) называется – окрестностью точки . (рис.1)

Пользуясь понятием – окрестности, определение предела числовой последовательности можно сформулировать следующим образом: число есть предел последовательности , если можно указать такой номер , что все члены последовательности с номерами большими , находятся в – окрестности точки , где – любое как угодно малое положительное число . Иначе говоря, все члены последовательности с номерами, большими , на оси (см. рис.1) изображаются точками, лежащими от точки на расстоянии, меньшем .

Определение 7. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Определение 8. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Пример 3. Доказать, что предел последовательности с общим членом равен , т. е. .

Решение. По определению предела последовательности число 2 будет пределом данной последовательности, если для любого укажем такой номер , что для всех членов последовательности с номерами будет выполняться неравенство

, или .

Пусть задано положительное число , тогда из последнего неравенства находим , или . Если теперь в качестве взять любое натуральное число, не меньше , то при всех для любого будет выполняться неравенство

, или ;

Значит, по определению .

Пусть, например, , тогда и . Возьмем любой член данной последовательности с номером, большим 19, например , и найдём значение .

Если , то и . Возьмём член последовательности с номером, большим , например

,

И найдём значение

.

Для любого , пользуясь выражением , можно подобрать натуральное число такое, что все члены последовательности с номерами, большими , будут, находится в –окрестности числа 2, а это значит (по определению), что .

Ответ: .

Пример 4. Доказать, что последовательность

С общим членом

Предела не имеет.

Решение. Легко установить, что точки с нечетными номерами «стягиваются» к точке 0, а точки с четными номерами – к точке 1. Следовательно, любая окрестность точки 0, а также любая окрестность точки 1 содержит бесконечное множество точек . Пусть есть произвольное действительное число. Всегда можно выбрать настолько малое , чтобы –окрестность точки не содержала по крайней мере некоторую окрестность одной из точек 0 или 1, тогда вне этой окрестности будет находиться бесконечное множество чисел и поэтому нельзя утверждать, что все числа , начиная с некоторого, попадут в –окрестность точки . А это значит, по определению, что число не является пределом данной последовательности. Но число – произвольное, поэтому никакое число не является пределом этой последовательности.

Следующая >