17. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении
Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс , вторая – осью ординат
, третья – осью аппликат
; точка
‑ начало координат (Рис. 4.4).
Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов , направленных соответственно по осям
. Векторы
называются основными или базисными ортами и определяют базис
в трехмерном пространстве.
Пусть в пространстве дана точка . Проектируя ее на ось
, получим точку
. Первой координатой
или Абсциссой точки
называется длина вектора
, взятая со знаком плюс, если
Направлен в ту же сторону, что и вектор
, и со знаком минус ‑ если в противоположную. Аналогично проектируя точку
на оси
и
, определим ее Ординату
И Аппликату
. Тройка чисел
взаимно однозначно соответствует точке
.
Система координат называется Правой, если вращение от оси к оси
в ближайшую сторону видно с положительного направления оси
совершающимися против часовой стрелки, и Левой, если вращение от оси
к оси
в ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке.
Вектор , направленный из начала координат в точку
называется Радиус-вектором точки
, т. е.:
|
(4.6) |
Если даны координаты точек и
, то координаты вектора
получаются вычитанием из координат его конца
координат начала
:
или
.
Следовательно, по формуле (4.5):
|
(4.7) |
При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
|
(4.8) |
Длина вектора , заданного координатами своих концов, т. е. расстояние между точками
и
вычисляется по формуле:
|
(4.9) |
Если и
коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:
|
(4.10) |
Пусть точка делит отрезок между точками
и
в отношении
, тогда радиус-вектор точки
выражается через радиусы-векторы
и
его концов по формуле:
.
Отсюда получаются координатные формулы:
.
В частности, если точка делит отрезок
пополам, то
и
, т. е.
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|