04. Основные операции над множествами
|
Рис. 2.2. |
Суммой или Объединением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком |
|
Рис. 2.3. |
Произведением или пересечением двух или произвольного (даже бесконечного) числа заданных множеств называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из заданных множеств. Эта операция над множествами обозначается знаком |
.
, то множества Два множества называются Непересекающимися (или расчлененными) если 
. Практический интерес представляют разбиения множества на взаимно непересекающиеся подмножества (эту задачу иногда называются Классификацией). Разбиением множества 
называется такая расчлененная система непустых подмножеств множества , что каждый элемент множества является элементом некоторого единственного множества этой системы. Возможность разбиения множества на непересекающиеся подмножества зависит от признака, по которому производится разбиение.
|
Рис. 2.4. |
Разностью множеств |
|
Рис. 2.5. |
Часто все рассматриваемые множества считают подмножествами одного основного множества |
|
Рис. 2.6. |
Симметрической разностью множеств
Обозначается симметрическая разность: |
.
(дополнение 
, а операцию называют взятием дополнения.
.
или 
.Для подмножеств данного множества 
выполняются следующие законы:
· Закон коммутативности (переместительный закон):
; 
;
· Закон ассоциативности (сочетательный закон) для любой тройки множеств 
, 
и 
:
;
;
· Закон дистрибутивности (распределительный закон) для любой тройки множеств 
, и :
;
;
· 
; 
;
· 
;
;
· 
; 
;
· 
;
· 
;
· 
; 
;
· 
; 
;
· 
; 
;
· 
; 
.
Если операции объединения множеств поставить в соответствие операцию сложения чисел, операции пересечения множеств – операцию умножения, универсальному множеству – единицу, а пустому множеству – ноль, то возникает аналогия между множествами и числами. Операции объединения и пересечения множеств, как и действия над действительными числами, подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Можно также провести аналогию между свойствами логических операций, где логической эквивалентности соответствует операция равенства, а операциям конъюнкции и дизъюнкции – операции объединения и пересечения.
Свойства фигурируют попарно таким образом, что каждое получается из соседнего заменой 
на 
, на 
и наоборот. Такие выражения называются Двойственными друг другу.
Принцип двойственности. Для любого тождества множеств двойственное ему выражение также является тождеством.
Очевидно, что операция Разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, в то же время операция Симметрическая разность и коммутативна, и ассоциативна.
Большое значение в современной математике имеет множественная операция Декартово произведение. Если заданы два множества и 
, то из их элементов можно составить упорядоченные пары, взяв сначала какой-либо элемент первого множества, а затем – элемент второго множества. Декартовым произведением двух исходных множеств и называется множество , составленное из упорядоченных пар (
). Декартово произведение множеств и обозначается 
.
Очевидно, что и 
‑ различные множества, т. е. операция декартова произведения не коммутативна, но, в то же время, она обладает свойством ассоциативности.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
