15. Алгебраические уравнения И Алгебраические неравенства. Уравнения высших степеней

Уравнение вида

(3.1)

Где называется Уравнением N-й степени.

Если уравнение называется Линейным.

Если уравнение называется Квадратным.

Если уравнение называется Однородным.

Основными методами решения уравнений типа (3.1) при являются:

1) метод разложения многочлена в левой части уравнения (3.1) на множители и сведение к равносильной совокупности уравнений;

2) метод замены переменной, в результате применения которого уравнение (3.1) заменяется равносильным уравнением, степень которого ниже, чем N;

3) поиск корней среди делителей свободного члена.

Рассмотрим некоторые виды уравнений (3.1) и их решения.

Уравнения вида решаются вынесением общего множителя за скобки:

И сведением к совокупности:

Уравнение вида

(3.2)

Решается заменой Получаем уравнение которое решается, как квадратное. Находим его корни (если такие существуют) и возвращаемся к старой переменной.

При уравнение (3.2) имеет вид:

– Биквадратное уравнение.

Уравнение

(3.3)

Где сводится к биквадратному уравнению заменой

Уравнение

(3.4)

Где и А таковы, что и сводится к биквадратному уравнению заменой

Или при к уравнению

Заменой

Уравнение

(3.5)

Где и делением на (так как – не является корнем) сводится к равносильному ему уравнению:

Далее заменой оно сводится к квадратному уравнению.

Уравнение

Где и А таковы, что сводится к уравнению вида (3.5) после попарного перемножения выражений в скобках:

Уравнения вида

(3.6)

Где называются Симметрическими уравнениями третьей степени.

Так как

То уравнение (3.5) равносильно совокупности уравнений:

Уравнения вида

(3.7)

Где называются Симметрическими уравнениями четвертой степени.

Так как не является корнем уравнения (3.7), то деление обеих частей уравнения (3.7) на приводит его к уравнению

или

Далее заменяем и сводим его к квадратному уравнению.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Выносим общий множитель за скобки:

Получаем совокупность уравнений

Ее решение дает три корня:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Заменяем и приходим к уравнению

Последнее уравнение имеет корни:

Возвращаемся к переменной Х:

Решаем полученные квадратные уравнения и приходим к ответу:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Задано уравнение вида (3.3). Заменяем

т. е. Подставим это значение в заданное уравнение:

После упрощения имеем:

Дополним до полного квадрата суммы:

После упрощения уравнение приобретает вид:

т. е.

Его решением является лишь

Возвращаясь к переменной Х, получим что приводит к ответу:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение вида (3.4).

Так как то перемножим выражения во 2-й и 3-й скобках. Получим:

Заменяем

Поскольку приходим к уравнению

Решая его как квадратное, получим корни:

Возвращаемся к переменной Х:

Первое квадратное уравнение полученной совокупности не имеет корней, так как а второе имеет корни что и будет ответом.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение вида (3.5). Поскольку не является его корнем (в чем можно убедиться подстановкой), то делим его почленно на Получаем

Введем замену которая приводит к уравнению

т. е.

Находим корни и возвращаемся к переменной Х:

Решаем полученную совокупность дробно-рациональных уравнений:

т. е.

Получаем в совокупности 4 корня:

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Это уравнение 3-й степени. Разложим на множители многочлен в правой части. Для этого рассмотрим делители свободного члена 16:

Подстановкой находим, что – корень этого многочлена. Следовательно, многочлен разделится нацело на

Воспользуемся правилом «деления углом»:

Данное уравнение равносильно уравнению

Решение которого сводится к совокупности

Квадратное уравнение не имеет корней, а поэтому получаем единственный корень

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением 4-й степени вида (3.7). Поскольку не является его корнем, то делим это уравнение почленно на Приходим к уравнению