03. Задания

I уровень

1.1. Укажите, какое предложение определяет высказывание:

1) Пусть всегда будет солнце!

2) Минск – столица Болгарии.

3) Число 7 больше числа 5.

4) Ты идешь сегодня в школу.

5) Выражение принимает значения больше нуля или равно нулю.

1.2. Определите тип высказывания (простое или сложное):

1) Если сумма углов четырехугольника равна 360°, то четырехугольник является квадратом.

2) Квадрат является ромбом.

3) Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда сумма двух его сторон больше третьей стороны.

4) Если высота треугольника проведена к основанию и она является медианой, то треугольник – равнобедренный.

5) Число 15 делится нацело на 7.

6) Если в четырехугольнике стороны попарно параллельны или попарно равны, то такой четырехугольник является параллелограммом.

1.3. Даны высказывания:

1) А: развернутый угол равен 180°.

2) В: число 7 является четным.

3) С: Беларусь – европейская страна.

4) D: Минск – столица Беларуси.

Сформулируйте высказывания:

1.4. Определите тип теоремы:

1) Четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда две его противоположные стороны параллельны и равны.

2) Если – корни квадратного трехчлена то

3) Числа являются корнями квадратного трехчлена тогда и только тогда, когда

4) Если окружность вписана в четырехугольник, то суммы противоположных сторон равны.

5) Для того чтобы окружность была вписана в четырехугольник, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных сторон были равны.

1.5. Для теоремы «Если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы» сформулируйте:

1) обратную;

2) противоположную;

3) противоположную к обратной;

4) необходимые и достаточные условия.

Определите значение И или Л сформулированных утверждений.

1.6. Докажите справедливость равенств для всех N Î N:

II уровень

2.1. Введите обозначения буквами всех простых высказываний, приведенных в задании 1.2. Запишите символически сложные высказывания с помощью операций над высказываниями. Определите их значение (И или Л).

2.2. Установите, равны ли по значению пары высказываний:

1) 2) 3)

2.3. Приведите пример конкретных математических высказываний A, B, C, которые соответствовали бы содержательно высказываниям:

1) 2)

2.4. Докажите, что сумма первых N чисел натурального ряда равна

2.5. Докажите, что для всех N, N Î N верно равенство:

2.6. Докажите неравенство:

1) если N Î N;

2) если N Î N, N ³ 5.

III уровень

3.1. Докажите, что высказывания равны при всех возможных значениях высказываний A, B.

3.2. На вопрос, кто из трех студентов сдал экзамен на «отлично», был получен правдивый ответ: «когда сдал первый, то сдал и третий, но неправда, что если сдал второй, то сдал и третий». Определите, какой студент сдал экзамен на «отлично».

3.3. Выясните истинность высказывания:

1) если В и С истинны;