95. Неравенство Коши - Буняковского. Норма вектора и ее свойства

Определение 1. Пусть E - евклидово пространство. Длиной или Нормой вектора A € E называется величина .

Определение 2. Косинусом угла между векторами A и B из E называется величина .

TЕорема 1. Для любых векторов и чисел справедливы свойства:

1) ;

2) ;

3) Или (Неравенство Коши Буняковского);

4) (Неравенство треугольника).

Доказательство. 1. СЛедует из определения скалярного произведения в евклидовом пространстве.

2. .

3. Если A = 0, то имеем . Пусть A ≠ 0. По определению евклидова пространства, для любого числа l имеем . Тогда для любого l € R значение квадратного трехчлена. Так как A2 > 0, то тогда дискриминант . Отсюда получаем.

4. 4. Так как

|A + B|2 = (A + B)2 = (A + B)×(A + B) = A2 + 2(Ab) + B2 = |A|2 + |B|2 + 2(Ab) =

= (|A| + |B|)2 - 2|A||B| + 2(Ab) = (|A| + |B|)2 - 2(|A||B| -Ab),

То по неравенству Коши-Буняковского |A + B|2 £ (|A| + |B|)2. Отсюда |A + B| £ £ |A| + |B|. 

< Предыдущая		Следующая >