48. Основные задачи, решаемые в аффинные системы координат

Определение координат вектора по координатам его концов. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, V1, V2, V3) и точки A(X1, Y1, Z1), B(X2, Y2, Z2). Требуется найти координаты вектора . По определению координат точки = X1V1+ Y1V2 + Z1V3, = X2V1+ Y2V2 + Z2V3. Тогда

=- = (X2 - X1)V1+ (Y2 - Y1)V2 + (Z2 - Z1)V3.

= (X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1). (2.1)

Координаты вектора В базисе аффинной системе координат равны разности соответствующих координат точек B и A. Отметим, что аналогичное утверждение имеет место для векторов плоскости и прямой.

Деление отрезка в данном отношении.

Определение 2.1. Говорят, что точка C делит отрезок AB в данном отношении l ≠ -1, если =.

Заметим точка, что C принадлежит отрезку AB, при l > 0 она лежит внутри отрезка AB, При l < 0 она лежит вне отрезка AB.

Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, V1, V2, V3) и точки A(X1, Y1, Z1), B(X2, Y2, Z2). Требуется найти координаты точки C(X, Y, Z), которая делит отрезок AB в отношении l ≠ -1.

По формуле (2.1) находим = (X - x1, Y - Y1, Z - Z1), = (X2 - x, Y2 - Y, Z2 - Z). Так как=, то по условию равенства векторов в координатной форме получим равенства

X - x1 = l( x2 - x), Y - y1 = l( y2 - y), Z - z1 = l( z2 - z),

из которого находим координаты точки C:

. (2.2)

Формулы (2.2) называются Формулами деления отрезка в данном отношении.

При l = 1 точка делит отрезок пополам. По формулам (2.2) находим координаты середины отрезка AB:

. (2.3)

3. Принадлежность трех точек прямой. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, V1, V2, V3) и точки A(X1, Y1, Z1), B(X2, Y2, Z2), С(X3, Y3, Z3). Требуется выяснить, когда эти три точки лежат на одной прямой.

По формуле (2.1) находим = (X2 - x1, Y2 - Y1, Z2 - Z1), = (X3 - x1, Y3 - Y1, Z3 - Z1). Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы И коллинеарны. Последнее равносильно тому, что координаты этих векторов пропорциональны.

.

4. Принадлежность четырех точек плоскости. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, V1, V2, V3) и точки A(X1, Y1, Z1), B(X2, Y2, Z2) ), С(X3, Y3, Z3) , С(X4, Y4, Z4). Требуется выяснить, когда эти четыре точки лежат на одной плоскости.

По формуле (2.1) находим = (X2 - x1, Y2 - Y1, Z2 - Z1), = (X3 - x1, Y3 - Y1, Z3 - Z1) , = (X4 - x1, Y4 - Y1, Z4 - Z1). Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторы , И компланарны. Последнее равносильно тому, что определитель, составленный из координат этих векторов равен нулю

=0.

< Предыдущая		Следующая >