26. Матрица перехода

Пусть

V = (V1, V2, ..., VN) ,

U = (U1, U2, ..., UN)

Два базиса векторного пространства V . Выразим вектора базиса второго базиса через вектора первого базиса:

U1 = T11V1 + T21V2 + ... +Tn1VN,

U2 = T12V1 + T22V2 + ... +Tn2VN, (4)

. . . . . . . . . . . . . .

UN = t1NV1 + T2NV2 + ... +TnnVN.

Определение 3. Матрицей перехода от базиса V , к базису U называется такая матрица

,

Столбцы которой есть соответствующие координатные столбцы векторов второго базиса U в первом базисе V.

В силу (4) связь между базисами и матрицей перехода можно записать в виде:

(U1, U2, ..., UM) = (V1, V2, ..., VN) ,

Или

U = VT. (5)

C другой стороны, если T¢ - матрица перехода от базиса U к базису V , то

V = UT¢. (6)

Из (5) и (6) получаем

U = (UT¢)T = U(T¢T) , V = (VT)T¢ = V (TT¢). (7)

Лемма 1. Пусть А, В матрицы размерности m´N c элементами из поля Р и v = (V1, V2, ..., VN) - базис n-мерного векторного пространства на Р. Если vA = vB, то A = B.

Доказательство. Пусть

, .

Тогда по определениям умножения и равенства матриц равенство VA = VB запишется в виде M векторных равенств:

A1JV1 + A2JV2 + ... + AnjVN = B1JV1 + B2JV2 + ... + BnjVN; J = 1, 2, ...,M.

В силу условия равенства векторов, записанных в координатной форме находим Aij = Bij; I = 1, 2, ...,N; J = 1, 2, ...,M. Отсюда A = B. Лемма доказана.

Так как V = VЕ и U = UE , то из равенств (7) по лемме 1 получаем T¢T = TT¢ = Е. Отсюда detT ≠ 0 , T¢ = T-1 и доказана теорема.

Теорема 3. Матрица перехода от одного базиса к другому является невырожденной матрице. Матрицы перехода от первого базиса ко второму и от второго базиса к первому базису являются взаимно обратными матрицами.

< Предыдущая		Следующая >