25. Базис векторного пространства

1. Определение базиса. Пусть V векторное пространство над полем Р.

Определение 1. Базисом Векторного пространства V называется такая упорядоченная система V1, V2, ..., VN из V , что выполняются свойства:

1) система векторов линейно независима;

2) любой вектор из V Линейная комбинация векторов V1, V2, ..., VN.

Определение 2. Размерностью векторного пространства V Называется число векторов базиса векторного пространства V .

Обозначается размерность векторного пространства V Символом N = dim V.

Нулевое векторное пространство {0} не имеет базиса и предполагается, что dim{0} = 0.

Пример 1. Базисом арифметическое N-мерное пространство Pn является система векторов:

E1 = (1, 0, 0,... ,0), E2 = (0, 1, 0,... ,0), ... , EN = (0, 0, 0,... ,1) (1)

И dim Pn = N. Действительно, легко проверить, система (1) линейно независима. Далее любой вектор A = (a1, a2, ... ,aN) € Pn линейная комбинация векторов системы (1),

A = a1E1 + a2E2 + ... + aN eN.

Пример 3. Базисом пространства матриц Pm´N является система состоящая из M n различных матриц, в каждой из которых один элемент равен 1 , а остальные элементы равны 0. dim Pm´N = M n.

В курсе линейной алгебры доказывается, что число векторов базиса не зависит от выбора базиса.

2. Координаты вектора.

Теорема 1. Любой вектор A € V единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т. е., если V1, V2, ..., VN базис векторного пространства V, то

A = x1V1 + x2V2 +...+ xnVN ; x1, x2, ...,xn € P, (2)

И такое представление единственно.

Доказательство. 6° Пусть B1, B2, ..., BR базис системы S. По определению базиса любой вектор A € S есть линейная комбинация векторов базиса:

A = a1B1 + a2B2 +...+ aRBR.

Доказывая единственность такого представления, допустим противное, что есть еще одно представление:

A = b1B1 + b2B2 +...+ bRBR.

Вычитая эти равенства почленно, находим

0 = (a1 - b1)B1 + (a2 - b2)B2 +...+ (ar - br)BR.

Так как базис B1, B2, ..., BR линейно независимая система, то все коэффициенты ai - bi =0; I = 1, 2, ..., R. Следовательно, ai = bi ; I = 1, 2, ..., R и единственность доказана.

Представление вектора A в виде (2) называется Разложением вектора по векторам базиса, а числа X1, X2, ..., Xn называются Координатами вектора A В данном базисе.

По определению произведения строки на столбец это равенство можно представить как

A = (V1 ,V2 ,... VN)= V×(X1 ,X2 ,... ,Xn)t, (3)

V = (V1 ,V2 ,... VN) - базис векторного пространства. Строка (X1 ,X2 ,... ,Xn) называется Координатной строкой вектора A, и вектор записывается в виде: A = (a1, a2,... ,aN). Столбец (X1 ,X2 ,... ,Xn)t - Координатным столбцом вектора A.

Теорема 2. Пусть два вектора A И B разложены по одному и тому же базису: A = (a1, a2,... ,aN), B = (b1, b2,... ,bN). Тогда справедливы утверждения.

1° Векторы A И B равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т. е. AI = bI; I = 1, 2,… , N.

2° При сложении векторов складываются их соответствующие координаты, т. е. A + B = (a1 + b1,a2 + b2,... ,aN + bN).

3° При умножении вектора A на число L все координаты вектора A умножаются на это число L, т. е. L A = (l a1,l a2,... , l aN).

Доказательство. Справедливость 1° следует в силу единственности разложения вектора по векторам базиса. Докажем 2°. Пусть

A = X1V1 + X2V2 +...+ XnVN , B = Y1V1 + Y2V2 +...+ YnVN

Разложения векторов A , B По базису V1 ,V2 ,... VN. Тогда

A + B = (X1 + Y1)V1 + (X2 + Yn)V2 + ...+ (Xn + Yn)VN

И отсюда следует 2°. Утверждение 3° доказывается аналогично.

< Предыдущая		Следующая >