Пусть V векторное пространство над полем Р.
Определение 1. Непустое подмножество 
называется Подпространством векторного пространства V или Подпространством в V если выполняются условия:
(1) A + B€L для любых a, b€L;
(2) a A€L для любых A€L, a€Р.
Так как 0 + 0 = 0, a 0 = 0 для любого a€Р, то множество L={0} образует подпространство в V. Это подпространство называется Нулевым подпространством. По определению V является подпространством самого себя. Эти два подпространства называются Тривиальными, а остальные Нетривиальными.
Пример 1. Пусть L прямая на координатной плоскости, проходящая через начало координат. Тогда множество всех радиус векторов плоскости с началом в начале координат и с концами на данной прямой образует подпространство пространства всех радиус векторов плоскости с началом в начале координат (см. пример 4 и чертеж из параграфа 1).
Пример 2. Множество всех треугольных матриц порядка N образует подпространство пространства 
матриц порядка N.
Пример 3. Множество всех непрерывных на множестве R функций образует подпространство пространства F(R) действительных функций, определенных на R.
Теорема 1. Любое подпространство L векторного пространства V само является векторным пространством над тем же полем Р относительно операций, определенных в V.
Доказательство. Пусть L подпространство в V. Покажем, что L Векторное пространство, а для этого проверим условия в определении 1.1 векторного пространства.
1) В силу условия (1) A + B€L для любых a, b€L , т. к. сумма векторов A + B находится единственным образом в V, то операция сложения векторов однозначна и в L. Таким образом, операция сложения в L бинарная алгебраическая операция.
2) Аналогично показывается, что операция умножения на числа из Р выполнима и однозначна.
3) Проверяем условия 1°-8°.
1°. Так как A + (B + C) =(A + B) + C для любых и A, B, C €V ,LÍV , то это условие выполняется для любых A, B, C €L.
Аналогично проверяются условия 2°,5-8°.
3°. Так как L≠Æ, то существует A€L. По свойству 8 векторного пространств 0×A=0. Тогда по определению подпространства 0€L. Так как a+0=a для любого A €V, LÍV , то это свойство выполняется для любого A€L.
4°. По свойству 11 и условию 8° определения векторного пространства (-1)А = -(1×А)= -A Для любого A €V ,LÍV, то (-1)А = -A Для любого А €L. По условию (2) определения подпространства -A =(-1)А €L для любого А €L. Так как А + (-A) = 0 Для любого A €V, LÍV , то это выполняется для любого A€L.
Таким образом, по определению 1.1 L векторное пространство над полем Р.