121. Однополостные гиперболоиды и его прямолинейные образующие

Определение 1. Поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет уравнение

, (10)

Называется Однополостным гиперболоидом, A > 0, B > 0, C > 0. Числа A, B, C называются Полуосями однополостным гиперболоидом.

Исследуем поверхность однополостного гиперболоида по уравнению (10). Так как все переменные входят в уравнение (10) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y, Z) однополостному гиперболоиду принадлежат все восемь точек (±X, ±Y, ±Z) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, однополостной гиперболоид симметричен относительно, всех трех координатных плоскостей и начала координат. Он пересекает координатные оси OX, OY соответственно в точках (±A, 0, 0), (0, ±B, 0), которые называются Вершинами Однополостного гиперболоида.

Исследуем методом сечений поверхность однополостного гиперболоида, проведя его сечения плоскостями, параллельными координатным. Пересекая однополостный гиперболоид плоскостями Z = H (-¥ < H < +¥), параллельными плоскости OXy, получим в сечении эллипсы.

Эллипсы, лежащие в сечениях, наименьшие полуоси имеют при H = 0. Это сечение называется Горловиной однополостного гиперболоида.

Пересекаем однополостный гиперболоид плоскостями X = H (-¥ < H < +¥), параллельными плоскостям OyZ и OXz Получим в сечении гиперболы. стями, параллельными плоскости OXz.

Уравнение однополостного гиперболоида (1) можно записать в виде

. (12)

Составим две системы уравнений первой степени

, (13)

Где M и N произвольные действительные параметры, которые одновременно не равны нулю.

Для любых M и N одновременно не равных нулю каждая из систем (13) определяет прямую и эти прямые пересекаются (проверить это). Если мы перемножим уравнения в каждой из систем (13) почленно и сократим, полученное равенство, на Mn, то получим уравнение (12). Поэтому любая точка (X, Y, Z) , принадлежащая прямым (13), находится на поверхности (12).

Прямые, принадлежащие каждому из двух семейств прямых, определяемых системами (13) называются Прямолинейными образующими однополостного гиперболоида (см рис. 10). При нахождении прямолинейных образующих можно один из двух параметров M или N в системах (13) полагать равным единице.

< Предыдущая		Следующая >