115. Критерий Сильверста положительной определенности квадратичной формы

Определение 1. Квадратичная форма F(X1, X2,…, Xn) называется Положительно определенной, Если для любых значений переменных X1, X2,…, Xn € RN не всех равных нулю значение формы положительно; т. е. F(X1, X2,…, Xn) ³ 0 и F(X1, X2,…, Xn) = 0 Û X1 = X2 =…= Xn = 0.

Определение 2. Квадратичная форма F(X1, X2,…, Xn) называется Отрицательно определенной, Если для любых значений переменных X1, X2,…, Xn € RN не всех равных нулю значение формы отрицательно; т. е. F(X1, X2,…, Xn) £ 0 и F(X1, X2,…, Xn) = 0 Û X1 = X2 =…= Xn = 0.

Определение 3. Квадратичная форма F(X1, X2,…, Xn) называется Положительно (Отрицательно) полуопределенной, Если она ля любых значений переменных X1, X2,…, Xn € RN значение формы неотрицательное (неположительное).

Определение 4. Квадратичная форма F(X1, X2,…, Xn) называется Неопределенной, Если она принимает как положительные так и отрицательные значения.

Примеры. Квадратичная форма - положительно определенная, - отрицательно определенная, - неопределенная, - положительно полуопределенные формы от трех переменных.

Теорема 1. Квадратичная форма F(X1, X2,…, Xn) Положительно определена тогда и только тогда, когда после приведения ее к каноническому виду все ее коэффициенты при квадратах переменных положительны, т. е. положительный индекс инерции квадратичной формы равен N.

Доказательство. Необходимость. Приведем квадратичную форму F(X1, X2,…, Xn) к каноническому виду

F(X1, X2,…, Xn) = , (1)

Где

, (2)

Невырожденное преобразование переменных. Покажем, что все коэффициенты в форме канонического вида положительны. Если бы какое-нибудь Cj £ 0, полагая Yj =-1, а все остальные значения неизвестных Yi =0. По значениям неизвестных Y1,…, Yn получим значение неизвестных X1,…, Xn , при которых квадратичная форма принимает значение £ 0. Получаем противоречие с определение положительно определенной формы.

Достаточность. Обратно, если все диагональные коэффициенты в (1) больше нуля, то при любом наборе значений переменных форма принимает неотрицательное значение. Далее значение формы (1) равно нулю, тогда и только тогда, когда Y1 = Y2 =…= Yn = 0. Так как преобразование переменных (2) невырожденное, то последнее равносильно условию X1 = X2 =…= Xn = 0. 

Опр. 5. Определители

Называются Главными или Угловыми минорами квадратичной формы .

Теорема 2. Квадратичная форма F(X1, X2,…, Xn) Положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры квадратичной формы положительны.

Доказательство. Необходимость. Пусть квадратичную форму F(X1, X2,…, Xn) положительно определена. Существует невырожденное преобразование переменных X = TY, которое переводит форму F к каноническому виду (1). По теореме 1, все коэффициенты Ci > 0. Тогда det (TtAT) = C1 C2… Cn > 0. Так как det(TtAT) = det Tt det A det T = det A (det T)2, dN = det A > 0.

Рассмотрим часть формы F(X1, X2,…, Xn): Fk (X1, X2,…, Xk) = F(X1, X2,…, Xk, 0,…, 0). Так как любое значение квадратичной формы Fk (X1, X2,…, Xk) совпадает с соответствующим значением формы F(X1, X2,…, Xk, Xk-1 ,…, Xn), то форма Fk (X1, X2,…, Xk) при неравных одновременно нулю значениях переменных X1, X2,…, Xk принимает положительные значения. По первой части доказательств тогда определитель формы Fk (X1, X2,…, Xk) больше нуля. Определитель формы Fk (X1, X2,…, Xk) равен dK. Тогда dK >0.

Достаточность. Доказываем методом математической индукции по числу N переменных в форме F(X1, X2,…, Xn). Если N =1, то квадратичная форма имеет вид A11X12 , где. Поэтому эта форма положительно определенная. Предположим, что утверждение теоремы имеет место для форм от N -1 переменной и докажем его для формы F(X1, X2,…, Xn) от N переменных. Представим ее в виде

, (3)

Где Fn-1 (X1, X2,…, X N-1) - квадратичная форма от N -1 переменной. Так как все главные миноры формы F(X1, X2,…, Xn) положительны, то и все главные миноры формы Fn-1 (X1, X2,…, X N-1) положительны.. Поэтому существует такое невырожденное преобразование переменных, которое приводит форму Fn-1 (X1, X2,…, X N-1) к сумме квадратов новых переменных Y1, Y2,…, Y N-1. Если положить X N = Yn, то дополним это преобразование до невырожденного преобразования формы F(X1, X2,…, Xn). Тогда в силу формулы (3) форма F(X1, X2,…, Xn) преобразуется к виду

. (4)

Так как

,

То невырожденное линейное преобразование

Приводит форму к виду

. (5)

По свойствам определителя преобразованной квадратичной формы, стоящей в правой части (5) должен быть положительным, а он равен С. Следовательно, по теореме 1 квадратичная форма F положительна. 

Пример 1. Квадратичная форма не является положительно определенной, так как d1 = A11=0.

Пример 2. Квадратичная форма является положительно определенной, так как все ее главные миноры

,

Положительны.

< Предыдущая		Следующая >