114. Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу собственных значений

Определение 1. Самосопряженный линейный оператор A в евклидовом пространстве En называется Присоединенным к квадратичной форме F(X), если

F(X) = (X, Ax). (1)

Теорема 1. Если квадратичная форма имеет присоединенный линейный оператор, то в любом ортонормированном базисе его матрица равна матрице квадратичной формы.

Доказательство. В ортонормированном базисе, соотношение (1) запишется в виде X T B X = X TA X, где A - Матрица оператора A, B - матрица квадратичной формы, X - координатный столбец вектора X. Это равенство можно записать в виде

X T (B-A) X = 0. (2)

Так как матрицы B, A - симметрические, то симметрическая матрица B - A. Рассмотрим квадратичную форму с матрицей B - A. Равенство (2) означает, что значение этой квадратичной формы равно нулю для каждого вектора X. Тогда форма канонического вида для этой формы нулевая, ранг ее равен нулю, и все ее коэффициенты равны нулю. Отсюда B = A. 

Теорема 2. Каждая квадратичная форма имеет присоединенный линейный оператор, и только один.

Доказательство. Выберем в En какой-нибудь ортонормированный базис пространства En, и рассмотрим в En тот линейный оператор, который имеет матрицу, равную матрице B квадратичной формы F(X). Найденный линейный оператор A самосопряженный, так как в ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу. Так как из B = A следует X T B X = X TA X, и F(X) = (X, Ax).

Докажем, что квадратичная форма имеет только один присоединенный линейный оператор. Допустим, что квадратичная форма F(X) имеет два присоединенных линейных оператора A, B. По теореме 1 в ортонормированном базисе его матрица равна матрице квадратичной формы F(X). Тогда матрицы операторов A, B в одном и том же базисе равны и операторы A, B совпадают. 

Теорема 3. В евклидовом пространстве для каждой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Доказательство. Рассмотрим линейный оператор A, присоединенный к квадратичной форме F(X). По теореме 2.5 предыдущей лекции, существует базис евклидова пространства, состоящий из собственных векторов линейного оператора A. Матрица линейного оператора в этом базисе диагональная. Тогда и матрица квадратичной формы диагональная, а квадратичная форма имеет канонический вид.

Следствие. Для любой квадратичной формы F(X) Существует такое ортогональное преобразование переменных, которое приводит данную квадратичную форму к каноническому виду.

Доказательство. Существование преобразования следует из теоремы 2. То что преобразование ортогональное следует из того, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортогональная.

Пример 1. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональными преобразованиями и найти эти преобразования

Решение. Рассмотрим присоединенный к квадратичной форме F(X) линейный оператор A евклидовом пространстве Е3, который имеет, имеет в ортонормированном базисе E1, E2, E3 матрицу

.

Составить характеристическое уравнение линейного оператора |A - l.E| = 0.

Найдем все корни характеристического уравнения: l1=2, l2 = l3 = -1. Тогда матрица линейного оператора в ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов имеет вид

.

Составим квадратичную форму канонического вида

Вычислим собственные векторы линейного оператора A, решая матричное уравнение (A - l.E)X=0.

Пусть l1=2. Матричное уравнение (A - l1E)X=0 принимает вид:

Решая систему, находим решение X = C(1,1,1), C€R/{0}.

Пусть l2 = l3 = -1. Матричное уравнение (A - l1E)X=0 принимает вид:

Решая систему, находим решение X = C1(-1,1,0) + C2(-1,0,1), C€R.

Полученный базис A1 = (1,1,1), A2 = (-1,1,0), A3 =(-1,0,1) ортонормируем.

B1 = (1,1,1), B2 = (-1,1,0), B3 = A3 + k B2, , B3 =(-1/2, 1, -1/2).

.

Ортогональное преобразование, переводящее квадратичную форму в форму канонического вида, имеет вид

< Предыдущая		Следующая >