107. Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженные операторы евклидовых пространствах и их свойства

Пусть E - евклидово пространство над полем действительных чисел R, на котором определено скалярное произведение векторов (A, B), A, B €E.

Опр. 1. Линейный оператор A* евклидова пространства E называется сопряженным линейному оператору A* Пространства E, если для любых векторов A, B €E выполняется условие:

(Aa, B) = (A, A*b). (1)

Лемма 1. Если произведение данной строки U на любой столбец Y равно нулю, то строка U нулевая. Если произведение любой строки X T на данную столбец U равно нулю, то столбец нулевой.

Теорема 1. Пусть V = (V1, V2,…, VN) - Базис евклидова пространства E, A - Матрица линейного оператора A Относительно базиса V, G = (Gij) - Матрица Грама базиса V. Если для линейного оператора A существует сопряженный оператор A*, то выполняется равенство

At G = G A*. (2)

Теорема 2. Если базис V = (V1, V2,…, VN) Евклидова пространства E Ортонормированный, то Матрица A* сопряженного линейного оператора A* Является транспонированной к матрице A Оператора A;

At = A*. (4)

Следствие 1. Для любого оператора A справедливо равенство (A* )* = A.

Следствие 2. Для любых оператора A, B справедливо равенство (AB )* = B * A*.

Следствие 3. Собственные значения линейных операторов A и A* Совпадают.

Теорема 3. Для любого линейного оператора A евклидова пространства E существует единственный сопряженный линейный оператор A*.

< Предыдущая		Следующая >