106. Ортогональные операторы и их свойства

Определение 1. Линейный оператор A евклидова пространства E называется Ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е. для любых A, B €E (Aa, Ab) = (A, B).

Свойство 1. Ортогональные операторы не меняют норму векторов, т. е. |Aa| = |A|.

Доказательство. |Aa| = . 

Свойство 2. Ортогональные операторы не меняют косинусы углов между векторами.

Доказательство. 

Свойство 3. Ортогональные операторы не меняют ортогональность векторов.

Доказательство. Если векторы A, B ортогональны, то (A, B)=0. По свойству 1 получим (Aa, Ab) = (A, B) = 0. Тогда векторы Aa, Ab ортогональны. 

Свойство 4. Ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

Доказательство. Пусть E = (E1, E2,…, EN) - ортонормированный базис. Тогда (AeI, AeJ) = (EI, EJ) = 1, если I=J, =0, если I≠J. Тогда базис (Ae1, Ae2,…, AeN) - ортонормированный базис. 

Свойство 5. Ортогонального оператора A имеет обратный оператор A-1, И A-1 = A* .

Доказательство. Имеем по определению ортогонального и сопряженного операторов (Aa, Ab) = (A, A*Ab) = (A, B). Отсюда получим (A, (A*Ab)- B) = 0. Отсюда получим, что вектор (A*Ab)- B ортогонален любому вектору A пространства и поэтому равен нулевому вектору. Тогда (A*Ab) = B, и это равенство выполняется для любого B €E. Тогда оператор A*A тождественный. 

Свойство 6. В ортонормированном базисе матрица ортогонального оператора является ортогональной матрицей.

Доказательство. По выше доказанному A*A - Тождественный оператор. Если A, A* матрицы линейных операторов A, A*, то получим A*A = E. Отсюда матрица A ортогональная. 

Свойство 7. Собственные значения ортогонального оператора по модулю равны 1.

Доказательство. Пусть V = (V1, V2,…, VN) ортонормированный базис евклидова пространства E, A - Матрица оператора A в базисе V. Пусть l0 - корень характеристического уравнения |A - lE| = 0. Рассмотрим однородную систему N линейных уравнений c N неизвестными, записанную в матричной форме:

(A - l0E)X = 0,

Где X - столбец неизвестных. Поскольку определитель системы равен нулю, то эта система имеет ненулевое решение X0. Из равенства (A - l0E)X0 = 0 следует A X0 = l0X0, Перемножая полученные равенства, находим

Так как At A =E и , то .

< Предыдущая		Следующая >