100. Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах

Определение 1. Матрицы A и B называются Подобными, если существует такая матрица T, что B = T -1 A T.

Теорема 1. Матрицы линейного оператора A Векторного пространства V - подобны, т. е. Если A и B матрицы линейного оператора j Соответственно относительно базисов v = (V1, V2, ..., VN) И U = (U1, U2, ..., UN) векторного пространства V, T- Матрица перехода от первого базиса ко второму, то B = T -1 A T .

Лемма 1. Пусть V = (V1, V2, ..., VN) - Базис векторного пространства V, A и С - Матрицы размерности N´ M. Если vA = vС, то A = С.

Доказательство теоремы. Пусть T = (TIJ) - матрица перехода от первого базиса. По определению матрицы перехода от базиса V к базису U имеем U = VT . По определению матрицы линейного оператора имеем

A(U) = (AU1, AU2, ..., AUN) = (U1, U2, ..., UN)B = uB = (VT)B =v(TB) . (1)

С другой стороны

A(U) == (Au1, Au2, ..., AuN)= (A(T11 v1 + T21 v2 + ...+ TN1 vN), A( t12 v1 + T22 v2 + ...+ TN2 vN), ..., A( t1N v1 + T2N v2 + ...+ TNN vN)) =

= (T11Av1 + T21 Av2 + ...+ TN1AvN, T12Av1 + T22Av2 + ...+ TN2VN, ..., T1N Av1 + T2NAv2 + ...+ TNNAvN) =

= (Av1, Av2, ..., AvN)T = (V1, V2, ..., VN)AT = vAT. (2)

Так как левые части равенств (1) и (2) равны, то получаем

V(TB) = vAT. (3)

По лемме следует TB = AT. Так как матрица перехода T От одного базиса векторного пространства невырожденная, то она имеет обратную матрицу T -1, то находим B = T -1 A T. 

3. Операции над линейными операторами. Пусть A, B - линейные операторы в векторном пространстве V, A, B - Соответственно матрицы линейных операторов A, B Относительно одного базиса V.

Определение 1. Суммой A + B линейных операторов A И B векторного пространства V называется отображение V в V, определенное для любого вектора, А из V по формуле: (A + B)А = AА + BА.

Определение 2. Произведение AA числа A На Линейный оператор A векторного пространства V называется отображение V в V, определенное для любого вектора, А из V по формуле: (aA)А = a(AА).

Определение 3. Произведением AB линейных операторов A И B векторного пространства V называется отображение V в V, определенное для любого вектора, А из V по формуле: (AB)А = A(BА).

TЕорема 1. 1. Сумма A + B двух линейных операторов A, B векторного пространства V линейный оператор векторного пространства V, и матрица линейного оператора A + B равна A + B.

2. Произведение AA числа A на линейный оператор A векторного пространства V линейный оператор векторного пространства V, и матрица линейного оператора AA равна AA.

3. Произведение AB двух линейных операторов A, B векторного пространства V линейный оператор векторного пространства V, и матрица линейного оператора AB равна AB.

4. Характеристическое уравнение линейного оператора. Пусть V - N - мерное векторное пространство над полем P, V =(V1, V2, …, VN) - базис векторного пространства V, A - линейный оператор в векторном пространстве V, A - Матрица линейного оператора A в данном базисе, l - переменная.

Определение 1. Характеристическим уравнением Линейного оператора A Называется уравнение

,

Теорема 1. Характеристическое уравнение линейного оператора имеет степень N и не зависит от выбора базиса векторного пространства V.

< Предыдущая		Следующая >