05. Определители. Перестановки и их четность

Литература

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997, с. 7-22.

2. Ермаков В. И. Общий курс высшей математики. М.: Инфра - М, 2000. с. 72-87

3. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. М.: Юнити, 2000. с. 16-26.

4. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980, с. 148-156.

Определение 1. Перестановкой Из N различных элементов или N - Перестановкой называется любое упорядоченное расположение этих элементов. Обозначаем N - перестановки символом , где

различные элементы N-элементного множества M.

Теорема 1.Число всех перестановок из n различных элементов равно .

Доказательство. В перестановке элемент из множества M можно выбрать N различными способами. Элемент из оставшихся элементов можно выбрать n-1 способами, элемент - N-2 способами и т. д. . Наконец элемент можно выбрать одним способом. Тогда по правилу произведения перестановку можно составить способами. Теорем доказана.

В дальнейшем рассматриваем N - перестановки из элементов множества .

Определение 2. Говорят, что элементы I и J в перестановке образуют Инверсию (беспорядок), если и I стоит впереди j .

Число всех инверсий в перестановок обозначаем символом .

Определение 3. Перестановка называется Четной, если число всех инверсий в перестановке четное, перестановка называется Нечетной, если число всех инверсий в перестановке нечетное.

Пример 1. В перестановке =(1,5,4,2,3) элементы 5 и 4 , 5 и 2, 5 и 3, 4 и 2, 4 и 3 образуют инверсии. Поэтому и перестановка нечетная.

Пример 2. Для N=2 имеется две перестановки:При этом перестановка (1,2) - четная, а перестановка (2,1) нечетная.

Пример 3. Для N=2 имеется 6 перестановок. При этом три перестановки (1,2,3), (3,1,2), (2,3,1) четные и три перестановки (1,3,2), (2,1,3), (3,2,1) нечетные.

Определение 4. Транспозицией Перестановки называется такое ее преобразование при, при котором два ее элемента переставляются местами, а остальные остаются на своих местах.

Теорема 2. При любой транспозиции перестановки ее четность меняется на противоположную.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Производится транспозиция соседних элементов I и J . Пусть исходная перестановка , а полученная перестановка , где точками обозначены все остальные совпадающие элементы. Число инверсий, которые образуют эти элементы между собой и с элементами I и J , в подстановках и , совпадает, так как положение этих элементов между собой и относительно элементов I и J в подстановках и не изменилось. Если i>j то в перестановке I и J Образуют инверсию, а в перестановке не образуют. Если i<j то в перестановке I и J Не образуют инверсию, а в перестановке образуют. Таким образом число инверсий в перестановках и отличается на единицу, и перестановки имеют противоположную четность.

2. Производится транспозиция элементов I и J , которые разделены M элементами перестановки. Пусть исходная, полученная перестановки:

, ,

Где точками обозначены все остальные совпадающие элементы подстановок. Перейдем от перестановки к перестановке при помощи транспозиций соседних элементов. Сначала переставим элементы i и местами, затем поменяем местами элементы i и , и т. д. сделав m транспозиций соседних элементов, перейдем к перестановке:

Затем переставим элементы I и J, и J, и т. д. сделав еще m+1 транспозиций соседних элементов перейдем к перестановке . Таким образом от перестановки к перестановке при помощи 2M+1 транспозиций соседних элементов. Так как каждая такая транспозиция меняет четность перестановки на противоположную, то перестановки и имеют противоположную четность. Теорема доказана.

Теорема 3. Для любого числа N>1 Число всех четных n-перестановок равно числу всех нечетных перестановок.

Доказательство. Пусть и соответственно число всех четных и нечетных перестановок. Пусть любая из четных перестановка. Проводя в них транспозиции первых двух элементов , получим Различных нечетных перестановок. Так как всего нечетных перестановок , то . Проводя аналогичное рассуждение с нечетными перестановками получим . Из этих двух неравенств следует, что =. Теорема доказана.

Следствие. При N>1 Число всех четных перестановок равно .

< Предыдущая		Следующая >