Вариант № 15

Задача 1(см. рис. 1)

Рассм. и рассм.

.

Задача 2

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 3

Пусть - диагонали параллелограмма; тогда ;

Угол между векторами Определим из равенства: ;

Вычислим ;

Рассм. ;

;

; .

Задача 4

Рассм. векторы ; ;

Вычислим ; ; .

Задача 5

Рассм. векторы ;

По усл-ю задачи , т. е. ;

.

Задача 6

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 7

; рассм. ;

Задача 8

При каком значении точки будут лежать в одной плоскости?

Рассм. векторы ;

Рассм. смешанное произведение

; след., при векторы компланарны и точки лежат в одной плоскости.

Задача 9

1) Определим координаты точки (середины отрезка ):

; ; ;

2) составим ур – е прямой : ;

3) ;

4) координаты т.Пересечения медиан в (центр тяжести) определим из условия, что т.Делит отрезок в отношении 2:1, т. е. ;

.

Задача 10

1) Составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

2) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

3) определим площадь ромба :

Определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

Определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

Рассм. векторы: ; рассм. векторное произведение:

;

Площадь ромба равна: .

Задача 11

Пусть - искомая плоскость; рассм. вектор ;

Рассм. направл. вектор оси ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

.

Задача 12

Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой : ;

Рассм. ;

Определим какую-либо точку ; рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ; Параметрические ур-я прямой :

Задача 13

Найти проекцию точки на прямую , заданную как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой :

;

Рассм. ; определим какую-либо точку ;

Рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно

Вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Рассм. плоскость , проходящую через точку перпендикулярно прямой :

;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

,

Т. е. ;

Найдём теперь искомую проекцию точки на прямую как точку пересечения плоскости и прямой : ;

.

Задача 16

Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .

Перейдём к полярным координатам по формулам: уравнение кривой Примет вид:

Задача 17

1) вычисление определителя 3-го порядка: .

A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):

Б) разложение по 3-й строке:

;

2)вычисление определителя 4-го порядка:

.

Задача 18

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

;

;

;

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение : .

3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:

;

Задача 19

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

;

Имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й несовместна.

Задача 20

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы

И вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 21

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система из 4-х векторов линейно зависима.

Задача 23

Задан многочлен ;

А) найти корни многочлена;

Б) разложить многочлен по корням;

В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.

А) ; разделим На :

Рассм. теперь ур – е ; ;

Б) разложение многочлена на линейные множители:

;

Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:

.

Задача 24(а)

Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .

; ;

, - парабола с вершиной в точке .

Задача 25

Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.

; ;

; ;

; перейдём к новым координатам по формулам: ;

, - гиперболический параболоид.

Задача 26

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

;

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

;

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

В) рассм.

;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >