Вариант № 15
Задача 1(см. рис. 1)
Рассм. и рассм.
.
Задача 2
Пусть , т. е.
;
след., вектор
.
Задача 3
Пусть - диагонали параллелограмма; тогда
;
Угол между векторами
Определим из равенства:
;
Вычислим ;
Рассм. ;
;
;
.
Задача 4
Рассм. векторы ;
;
Вычислим
;
;
.
Задача 5
Рассм. векторы ;
По усл-ю задачи , т. е.
;
.
Задача 6
1) , где
;
;
;
2) ;
Направл. косинусы вектора :
;
;
.
Задача 7
; рассм.
;
Задача 8
При каком значении точки
будут лежать в одной плоскости?
Рассм. векторы ;
Рассм. смешанное произведение
; след., при
векторы
компланарны и точки
лежат в одной плоскости.
Задача 9
1) Определим координаты точки (середины отрезка
):
;
;
;
2) составим ур – е прямой :
;
3) ;
4) координаты т.Пересечения медиан в
(центр тяжести) определим из условия, что т.
Делит отрезок
в отношении 2:1, т. е.
;
.
Задача 10
1) Составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку
Параллельно
Прямой ;
2) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку
Параллельно
Прямой ;
3) определим площадь ромба :
Определим координаты точки как точки пересечения прямых
:
;
Определим координаты точки как точки пересечения прямых
:
;
Рассм. векторы: ; рассм. векторное произведение:
;
Площадь ромба равна:
.
Задача 11
Пусть - искомая плоскость; рассм. вектор
;
Рассм. направл. вектор оси ;
Рассм. норм. вектор ;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
.
Задача 12
Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей:
.
Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой
:
;
Рассм. ;
Определим какую-либо точку ; рассм.
Положим , тогда
;
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т.
параллельно вектору
:
; Параметрические ур-я прямой
:
Задача 13
Найти проекцию точки на прямую
, заданную как пересечение двух плоскостей:
.
Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой
:
;
Рассм. ; определим какую-либо точку
;
Рассм.
Положим , тогда
;
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т.
параллельно
Вектору :
; параметрические ур-я прямой
:
Рассм. плоскость , проходящую через точку
перпендикулярно прямой
:
;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
,
Т. е. ;
Найдём теперь искомую проекцию точки
на прямую
как точку пересечения плоскости
и прямой
:
;
.
Задача 16
Перейти в уравнении к полярным координатам и построить кривую: .
Перейдём к полярным координатам по формулам: уравнение кривой
Примет вид:
Задача 17
1) вычисление определителя 3-го порядка: .
A) Непосредственное вычисление (по правилу треугольников):
Б) разложение по 3-й строке:
;
2)вычисление определителя 4-го порядка:
.
Задача 18
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где
;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
,
след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр.
;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
,
,
, где
,
;
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
вектор–решение с-мы (1):
;
2)получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
; транспонируем м-цу
и получим «присоединённую» м-цу
;
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
;
Находим теперь вектор-решение :
.
3) решим с – му ур – й (1) методом Гаусса:
;
Задача 19
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
;
Имеем ;
Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й несовместна.
Задача 20
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
И вектор - столбцы имеют вид:
;
Рассм. ;
Вычислим матрицу .
Задача 21
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
Ранг матрицы , след. данная система из 4-х векторов линейно зависима.
Задача 23
Задан многочлен ;
А) найти корни многочлена;
Б) разложить многочлен по корням;
В) разложить многочлен на множители только с действительными коэффициентами.
А) ; разделим
На
:
Рассм. теперь ур – е ;
;
Б) разложение многочлена на линейные множители:
;
Разложение многочлена на множители только с действительными коэффициентами:
.
Задача 24(а)
Установить вид и построить линию, заданную уравнением: .
;
;
, - парабола с вершиной в точке
.
Задача 25
Привести уравнение поверхности 2-го порядка к каноническому виду, определить вид поверхности.
;
;
;
;
; перейдём к новым координатам по формулам:
;
, - гиперболический параболоид.
Задача 26
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм.
;
Рассм.
Пусть
, тогда вектор
;
Б) рассм.
Рассм.
Пусть
, тогда вектор
;
В) рассм.
;
Рассм.
Пусть , тогда вектор
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть:
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|