Вариант № 25
1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .
Применим признак сравнения в предельной форме с рядом :
. Но ряд
расходится, так как ряд с общим членом
сходится при
и расходится при
. В данном случае
. Следовательно, расходится и ряд с общим членом
. Ответ: Ряд расходится.
2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .
Применим признак д, Аламбера:
. Предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если эти степени одинаковы. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.
3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .
Имеем . Функция
удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно,
монотонно убывает на
и, следовательно, интеграл
и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем
. Интеграл расходится, следовательно, расходится и данный ряд. Ответ: Ряд расходится.
4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .
Рассмотрим ряд . Так как
При любом
, то
. Но ряд
сходится, так как является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Следовательно, сходится и рассматриваемый ряд в соответствии с первым признаком сравнения, причём сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.
5. Определить область сходимости функционального ряда: .
Применим признак д, Аламбера к ряду :
(старшие степени у многочленов одинаковы). Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы:
, т. е.
, или
. Следовательно, ряд сходится, если
. Исследуем ряд на концах интервала. При
получим знакочередующийся числовой ряд
. Рассмотрим общий член этого ряда по абсолютной величине:
. Ряд с общим членом
сходится, тогда по первому признаку сравнения сходится и ряд
. Следовательно, ряд
сходится абсолютно, т. е. и при
. Ответ: Областью сходимости ряда является множество
6. Определить область сходимости функционального ряда: .
Применим признак д, Аламбера к ряду :
. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы:
, т. е.
или
. Следовательно, ряд сходится при
и
. Исследуем ряд на концах интервала. При
получим числовой ряд
, при
получим числовой ряд
. Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости. Ответ: Областью сходимости ряда является множество
7. Определить область сходимости функционального ряда: .
Применим признак д, Аламбера к ряду :
. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы:
, т. е.
. Или
Следовательно, ряд сходится при
. Исследуем ряд на концах интервала. При
получим числовой ряд
, который сходится абсолютно по признаку сравнения со сходящимся рядом
. Следовательно, исследуемый ряд сходится и при
. Ответ: Областью сходимости ряда является множество
.
8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости:
.
Воспользуемся известным разложением функции :
. Этот ряд сходится при
. Преобразуем исходную функцию:
. В записанном выше разложении логарифмической функции положим
, получим:
Или
. Ряд сходится при
или
.
Ответ: .
9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости:
.
Преобразуем исходную функцию: . Воспользуемся разложением функций
и
в ряд Маклорена:
,
. Оба ряда сходятся при
. Следовательно,
. Областью сходимости ряда будет
. Ответ:
,
.
10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .
Воспользуемся формулой . Положим
Получим
. Тогда
. В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем
. В данном случае
. Очевидно, что
. Следовательно, достаточно взять пять первых слагаемых:
. Ответ:
.
11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .
Так как , то
. Кроме того,
. Следовательно,
. Ответ:
.
12. Найти сумму ряда:.
Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда
. Но
есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при
. Следовательно,
. Ответ:
.
13. Найти сумму ряда:.
Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда
.
. Но
есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при
. Следовательно,
.
Ответ: .
14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:
Будем искать решение уравнения в виде , где
. Будем последовательно вычислять производные
:
,
. Следовательно,
. Таким образом,
.
Ответ: .
15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:
Ищем решение уравнения в виде . Тогда
. Подставляя это в исходное уравнение, получим:
. Первую сумму можно записать в следующем виде:
, вторую сумму – в виде
. Тогда
. Объединим все суммы, выделяя «лишние» слагаемые:
. Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е.
и
. Отсюда получаем рекуррентную формулу:
Следовательно,
. В соответствии с начальными условиями
и
. Получим:
. Таким образом,
.
Ответ: .
16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:
По графику определяем .
Разложение функции в ряд Фурье имеет вид:
. Вычислим коэффициенты
:
. Вычислим коэффициенты
:
. Таким образом,
.
Ответ: .
17. Разложить функцию в ряд Фурье на :
Функция является нечётной. Разложение функции
В ряд Фурье имеет вид:
. Вычислим коэффициенты
:
. Вычислим коэффициенты
:
. Таким образом,
. Ответ:
.
18. Найти разложение функции в ряд Фурье в комплексной форме на :
.
В комплексной форме ряд Фурье функции периода
имеет вид:
где
. В данном случае
. Таким образом,
. Ответ:
.
19. Функцию представить интегралом Фурье в действительной форме:
.
Представление функции интегралом Фурье имеет вид
, где
.
Функция нечётная, поэтому . Вычисляем функцию
:
.
.
Ответ: .
20. Функцию представить интегралом Фурье в комплексной форме:
.
Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид , где
. Вычислим
:
. Таким образом,
.
Ответ: .
< Предыдущая |
---|