Вариант № 23

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Найдём корни числителя . Так как ветви параболы направлены вверх, то при . Дробь будет положительной, если одновременно , т. е. . Отсюда находим первый интервал: . Далее, при или . Дробь будет положительной, если одновременно , т. е. . Отсюда находим второй интервал: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Область определения данной функции определена условием . Отсюда следует, что . Функция чётная. Поэтому достаточно построить график для , затем повторить его зеркально относительно оси OY в левой полуплоскости. Строим сначала график функции . Затем сдвигаем этот график вправо по оси OХ на 1 единицу и часть графика, лежащую в нижней полуплоскости, отражаем зеркально в верхнюю полуплоскость. Получили график функции . Зеркально достраиваем график в левой полуплоскости. Ответ: Последовательность построения графика представлен на рисунках.

3. Построить график функции: .

Область определения функции: . Преобразуем функцию: . Это гипербола. Строим сначала гиперболу . Затем сдвигаем график влево по оси ОХ на 2 единицы, затем поворачиваем его вокруг оси ОХ. Получим график функции .

Отметим, что точка по отношению к заданной функции является точкой устранимого разрыва. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T: . Получили уравнение параболы , ветви которой направлены вниз, а вершина расположена в точке (0, 1). Парабола определена для , та как .

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

При будет , и при будет . Это скручивающаяся спираль. Для построения графика сделаем таблицу.

φ	π/2	π	3π/2	2π
ρ	2	1	2/3	1/2

φ	5π/2	3π	7π/2	4π
ρ	2/5	1/3	2/7	1/4

Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии: . Аналогично, . Тогда .

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (∞-∞)).

Приводим к общему знаменателю и разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Дополним числитель до разности кубов, умножая числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы:

. Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом: :

. Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

, так как . Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами:

|.

Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничной точке области определения: . Таким образом, в точке X=0 функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в точке разрыва равен . Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Прямая является горизонтальной асимптотой.

Ответ: В точке X=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=1 функция терпит разрыв второго рода.

Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , так как всегда. Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифми-

Руем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y: . Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X):

. Или . Из этого равенства находим:

. Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞0). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно,

. Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0/0):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ: .

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых пяти производных в заданной точке:

,. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 0) функция ведёт себя как степенная функция пятой степени. Точка (0, 0) является точкой перегиба. Слева – интервал выпуклости, справа – интервал вогнутости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел: . Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: . Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Таким образом, прямая является горизонтальной асимптотой. Очевидно, что других асимптот нет.

Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция не имеет разрывов. Вертикальных асимптот нет.

4. . Ищем наклонные асимптоты в виде : (по правилу Лопиталя). Аналогично, . Следовательно, наклонных асимптот нет.

5. Первая производная . Производная в нуль не обращается. В точке производная не существует. При производная отрицательна – функция монотонно убывает, при производная положительна – функция монотонно возрастает. Следовательно, точка является точкой минимума, причём .

6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точках и . В точке производная не существует. Имеем четыре интервала: интервал и интервал . В интервале производная - график функции вогнутый, в интервале производная - график функции выпуклый, в интервале производная - график функции выпуклый, в интервале производная - график функции вогнутый. 7. График функции не пересекает осей координат.

Ответ: График функции представлен на рисунке, минимум функции – в точке , точек перегиба нет.

< Предыдущая		Следующая >