Вариант № 10

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:

И или . Достаточно рассмотреть второе неравенство, так как первое неравенство перекрывается вторым: или . Корнями уравнения являются числа . Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется при . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси, Точки Являются точками разрыва второго рода. Строим сначала . Затем смещаем график на две единицы вверх по оси ОУ. Получим график функции .

Затем повернем отрицательные ветви графика вверх зеркально по отношению к оси ОХ. Получим график функции . Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

3. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «сжимаем» график в три раза по оси ОХ. Получим график функции . Затем сдвинем график вправо по оси ОX на 1/3 единицы. Получим график функции . Затем сдвигаем график по оси OY вниз на одну единицу. Ответ: Все построения представлены на рисунках.

4. Построить график функции: .

Функция периодическая с периодом 2π. Действительно, функция достигает максимумов в точках . При этом , так как . Составим таблицу координат нескольких точек графика в первом периоде:

T	0	π/6	π/4	π/3	π/2
X	0	0.024	0.078	0.181	0.571
Y	0	-0.134	-0.293	-0.5	-1
T	2π/3	3π/4	5π/6	π	7π/6
X	1.228	1.649	2.118	3.142	4.165
Y	-1.5	-1.707	-1.866	-2	-1.866
T	5π/4	4π/3	3π/2	5π/3	7π/4
X	4.634	5.055	5.712	6.102	6.205
Y	-1.707	-1.5	-1	-0.5	-0.293

График периодичен. Поэтому нет необходимости вычислять координаты точек в других периодах. По точкам строим график и отражаем его симметрично в другие периоды.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при . В этом интервале функция возрастает от 0 до 1.5 (при ), затем убывает от 1.5 до 0. Вертикальная ось пересекается графиком в точках (π/2, 0.5) и (3π/2, 0.5). Можно перейти к декартовым координатам. Тогда получим уравнение . Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём скобки в степени, приведём подобные и поделим числитель и знаменатель на старшую степень N:

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (∞−∞).

Приводим к общему знаменателю Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители: .

Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Приведём числитель к разности кубов путем умножения числителя и знаменателя на неполный квадрат суммы:

.

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разность косинусов можно представить в виде произведения синусов, затем воспользуемся первым замечательным пределом: :

, так как . Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Предел в квадратных скобках равен числу E. Далее, . Окончательно: . Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Заметим, что . Следовательно, . Воспользуемся эквивалентными величинами :

| Ln(T+1)~T| и Sin(T) ~T при T→0: Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=−2 и X=1. В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва: . Таким образом, точка X=−2 является точкой разрыва второго рода. В точке X=1 функция имеет устранимый разрыв, можно доопределить функцию, полагая F(1)=0, и считать, что в этой точке функция непрерывна. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: Точка X=−2 является точкой разрыва второго рода, точка X=1 является точкой устранимого разрыва, в остальных точках функция непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=0 функция непрерывна, а в точке X= π/2 функция терпит разрыв второго рода. Ответ: В точке X= π/2 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае . Так как ~ , то

. Ответ:

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

. Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , или ; уравнение нормали , или . Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке: . Ответ: ,

, .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ: .

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени: . Следовательно,

. Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞−∞):

.

Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, -1) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (1, -1) является точкой максимума функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Подставим это в предел:

.

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в точках разрыва функции: . Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :

. Найдём наклонные асимптоты: ,. Тогда

.Отсюда следует, что прямые и являются односторонними наклонными асимптотами. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствует. 3. Функция непрерывна на всей числовой оси. Вертикальных асимптот нет. 4. Исследуем функцию при : . Найдём наклонные асимптоты: следовательно, наклонных и горизонтальных асимптот нет.

5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке И не существует в точке. При производная - функция убывает, при производная - функция также возрастает, при производная , следовательно, функция также возрастает. Точка является точкой минимума функции, причём .

6. .

Вторая производная в нуль обращается в точке . В точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал вогнутости, в интервале производная - интервал выпуклости графика функции, в интервале производная - интервал вогнутости. Точки перегиба и .

7. График функции пересекает координатные оси в точке (0, 0). Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке - минимум. Точки перегиба и .

< Предыдущая		Следующая >