Вариант контрольной 28
Вариант 28
Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.. 
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
;
Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями:
Астроида симметрична относительно оси 0х, при этом точке 
, а точке 
. Поэтому:
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах
Решение:
Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:
Решение:
Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:
Решение.
Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:
; 
Решение.
Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями 
, 
,
Решение.
Имеем тело (гиперболоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:
.
Значит, объем тела:
Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:
Площадь эллипса:
Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OY.
Решение: Найдем координаты границы тела по оси OX:
Значит, объем тела
Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной первой петлей лемнискаты Бернулли:
Решение:
Первая петля лемнискаты Бернулли
Задача 13. Найти статический момент дуги параболы 
относительно оси ОY.
Решение:
Статический момент относительно оси ОY:
Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
А)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
. Значит, несобственный интеграл:
Несобственный интеграл сходится.
Б)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и 
При 
. Значит, несобственный интеграл:
Несобственный интеграл сходится.
Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и не определена при 
.
Оценим подынтегральную функцию при :
Следовательно:
Поскольку интеграл 
расходится, то по признаку сравнения расходится исходный несобственный интеграл.
| < Предыдущая |
|---|
