Вариант контрольной 25
Вариант 25
Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат. 
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями:
Астроида симметрична относительно оси 0х, при этом точке 
, а точке 
. Поэтому:
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах
Решение:
Задача 7.. Вычислить длину дуги кривой:
Решение.
Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:
; 
Решение.
Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:
Решение.
Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Решение.
Имеем тело (эллипсоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:
.
Значит объем тела:
Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:
Площадь эллипса:
.
Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигур, ограниченных графиками функций. Ось вращения Oy.
Решение: Найдем точки пересечения графиков функций
Значит, объем тела:
Задача 12. Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной осями координат и дугой астроиды, расположенной в первом квадранте.
Решение: Дуга астроиды, расположенная в первом квадранте, может быть записана в параметрическом виде: 
,
При этом координата х монотонно возрастает от 
до 
. Поэтому:
(Ответ не совпадает)
Задача 13. Найти момент инерции дуги параболы 
относительно оси ОХ.
Решение:
Находим границы фигуры:
МОмент инерции дуги параболы:
Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
А)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
.
Значит, несобственный интеграл:
Несобственный интеграл сходится.
Б)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и 
При 
. Значит, несобственный интеграл:
Несобственный интеграл сходится.
Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции 
.
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и не определена при 
.
Оценка при
Поскольку интеграл 
сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
