Вариант контрольной 15
Вариант 15
Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат. 
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Находим точки пересечения графиков функций:
Задача 5. Вычислить площадь фигуры:
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
Решение:
Задача 7. Вычислить длину дуги кривой: 
Решение.
Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:
Решение:
Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:
Решение.
Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Решение: Имеем тело (эллипсоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:
.Значит, объем тела:
Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:
Площадь эллипса:
.
Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OХ.
Решение: Находим точки пересечения графиков функций:
Значит, объем тела:
Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L: дуга кривой
Слишком сложное решение
Задача 13. Найти статический момент относительно оси Ох дуги кривой 
.
Решение:
Статический момент относительно оси Ох:
Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
А)
Значит, несобственный интеграл расходится.
Б)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и 
При 
. Значит, несобственный интеграл:
Несобственный интеграл сходится.
Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и Не Определена при 
. Значит, несобственный интеграл имеет особенности на обеих границах интегрирования. Представим заданный интеграл в виде:
Оценим подынтегральную функцию первого интеграла при :
Поскольку интеграл 
сходится, то по признаку сравнения сходится первый несобственный интеграл.
Оценим подынтегральную функцию второго интеграла:
справедлива для всех 
.
Поскольку интеграл 
сходится, то по признаку сравнения сходится второй несобственный интеграл.
Следовательно, сходится исходный несобственный интеграл
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
