Вариант № 15
В - 15
Задача 1
А) проверим, является ли
линейным подпространством
:
Пусть ,
, и пусть выполняются условия:
;
1) рассм.
И рассм. и
, след.
;
2) рассм. И рассм.
и
, след.
, и след.,
является линейным подпространством
.
Б) проверим, является ли
линейным подпространством
:
Пусть ,
, и пусть выполняются условия:
;
1) рассм.
И рассм. и, след.
;
и след., не является линейным подпространством
.
Задача 2
Векторы линейно независимы; проверим, будут ли линейно независимы векторы
, где
.
Рассм. линейную оболочку (так как
линейно независимы) и векторы
Служат базисом в
;) рассм. в базисе
координаты векторов
:
;
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
Ранг матрицы , след. система векторов
линейно зависима.
Задача 6
Запишем данную систему уравнений в матричной форме:
, (1) , где
;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
,
след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр.
;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:
,
,
, где
,
;
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
Вектор–решение с-мы (1): ;
2) Получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
;
Вычислим обратную матр. :
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
; транспонируем м-цу
и получим
«присоединённую» м-цу ;
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
;
Находим теперь вектор-решение :
.
Задача 7
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
Имеем ;
Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как
, то система имеет бесконечное множество решений;
Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:
;
общее решение данной системы ур-й:
Вектор-решение данной системы ур-й: .
Задача 8
.
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
;
- собств. значения (действ.) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм. ;
Рассм.
Положим , тогда вектор
;
Положим , тогда вектор
;
Б) рассм.
Рассм.
Положим , тогда вектор
;
След., собств. векторы линейного преобразования суть :
;
;
.
< Предыдущая | Следующая > |
---|